© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar.
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
TANGENCIES: EXERCICIS ELEMENTALS
18

Abans de fer els exercicis de tangències cal tenir present les següents qüestions: Una tangència és una relació límit entre rectes i corbes o corbes i corbes, basades en un únic punt de contacte, el punt de tangència, un punt importantíssim que a la pràctica cal assenyalar sempre. Anomenem enllaç a la relació harmònica basada en tangències entre arcs de circumferència i línies rectes. Els centres de dues circumferències tangents han d'estar sempre alineats amb el seu punt de tangència. A cada tangent a una circumferència, en el seu punt de tangència li correspon un radi, que està en posició normal (perpendicular) respecte de la línia recta tangent. Molts dels problemes més senzills de tangències es resolen amb operacions d'equidistàncies, emprant mediatrius i bisectrius, tot basant-nos en un conjunt de llocs geomètrics referits a tangències que podeu veure definits en aquesta pàgina i, sobretot a la fitxa 15 . En altres casos, es relacionen amb la resolució de problemes de tangències temes com la potència d'un punt respecte d'una circumferència, l'eix radical i la inversió, ho veureu a la fitxa 17.

1) Traçat amb ajuda del compàs d'una tangent en un punt qualsevol d'una circumferència: Diguem per avançat, que aquest exercici es pot resoldre, també, traçant amb l'escaire la normal al radi corresponent al punt desitjat de la circumferència. Amb compàs, com ho podeu veure a la figura superior, anem traçant arc arbitraris successius d'un valor major a la seva meitat, els quals ens van donant consecutivament els punts, 1, 2, 3 i 4. Aquest últim serà el punt que unit amb el punt triat de la circumferència determinara la recta tangent.
2) Traçat amb ajuda del compàs d'una tangent en un punt qualsevol d'un arc de circumferència: Aquest problema es pot resoldre de dues maneres, una traçant dues cordes i amb les seves mediatrius trobar el centre, amb la qual cosa podríem tornar a realitzar l'exercici anterior o, com veieu a la figura superior des de 1 i dos traçar dos arcs consecutius del mateix valor arbitrari de radi, per després, des de 1 amb radi 1-3 trobar el punt quatre, des del qual podem traçar la tangent traçant una recta fins a 1.
3) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, primer cas: Aquest problema és la representació gràfica de la potència. Després d'unir amb una recta el centre de la circumferència i el punt exterior M, tracem la mediatriu d'OM per trobar el seu punt mig, des del qual traçarem un arc de circumferència de radi 1/2 d'OM que en permetrà trobar els dos punts de tangència.
4) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, segon cas: Aquest problema és, també, la representació gràfica de la potència. Després d'unir amb una recta el centre de la circumferència i el punt exterior M, tracem una circumferència concèntrica a la circumferència donada de radi 2r, a continuació amb radi MO des de M tracem un arc que ens permetrà trobar sobre la circumferència de radi 2R, dos punts que units al centre O ens donaran els punts de tangència sobre la circumferència.
5) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, tercer cas: Aquest problema és, també, la representació gràfica de la potència. En primer lloc tracem una circumferència concèntrica a la donada que passi per M, tot seguit sobre el punt 1 tracem una tangent a la circumferència de centre O que quan interseca la circumferència de radi OM ens permet trobar els punts 2 i 3. Unint aquests punts amb el centre O trobarem els dos punts de tangència.
6) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, quart cas: Aquest problema és, també, la representació gràfica de la potència. En primer lloc tracem dues rectes secants a la circumferència de centre O que ens donaran quatre punts, 1,2,3 i 4 sobre aquesta. Tracem les línies 2-3 i 1-4 que es trobaran al punt C. Serà des del punt C quan tracem una línia que passi per on es creuen les diagonals 4-2 i 3-1, com trobarem els dos punts de tangència sobre la circumferència. Amb aquest mètode us podeu trobar amb el problema que C us doni fora del paper, haureu de repetir les secants, una prou ample i una prou curta fins que C se situï en el full.
7) Circumferències tangents a dues rectes r i s donades i tangents entre si en un punt donat sobre s: Apliquem el lloc geomètric ( 3 ) de la pàgina anterior. Els centres de les circumferències tangents a una recta, en un punt T, estan sempre continguts en una perpendicular a n en el mateix punt T esmentat. Aquest fet ens permet traçar d'entrada una perpendicular a s en el punt T on ja sabem que hi trobarem els centres de les solucions. A continuació com que les circumferències que cerquem també han de ser tangents a r, tracem les bisectrius dels dos angles, les quals en la seva intersecció amb la perpendicular a T ens donara O1 i O2 que son els centres de les dues circumferències solució del problema.
8) Circumferència tangent a tres rectes s, n i m donades : Apliquem el lloc geomètric ( 2 ) de la pàgina anterior. És el lloc geomètric dels punts del plànol que equidisten en un angle de dos punts també equidistants del vèrtex . En la figura només disposem d'un vèrtex al qual traçarem la bisectriu, el segon vèrtex el trobarem traçant paral·leles equidistants a n i m per així trobar un vèrtex auxiliar al qual traçarem també la bisectriu. Dues bisectrius ben traçades seran suficients per trobar el centre O1 de la solució. Els punts de tangència els trobarem traçant perpendiculars a les rectes s, n i m, els extrems de les quals formarien un triangle o simplement tres punts no alineats als circumscriurien la circumferència solució de centre O1 ( lloc geomètric 2 basat amb la mediatriu).
9) Circumferències tangents a dues rectes r i s donades i tangents entre si en un punt donat sobre s: Apliquem el lloc geomètric ( 3 ) de la pàgina anterior. Els centres de les circumferències tangents a una recta, en un punt T, estan sempre continguts en una perpendicular a n en el mateix punt T esmentat. Aquest fet ens permet traçar d'entrada una perpendicular a s en el punt T on ja sabem que hi trobarem els centres de les solucions. A continuació com que les circumferències que cerquem també han de ser tangents a r, tracem les bisectrius dels dos angles, les quals en la seva intersecció amb la perpendicular a T ens donara O1 i O2 que son els centres de les dues circumferències solució del problema.
10) Circumferències tangents a dues circumferències donades que les continguin. Aquest problema també pot ser enunciat de la següent forma: Enllaç de dues circumferències donades per mitja d'arcs de circumferència convexos: A una mesura arbitrària se li resten els radis de la circumferència major i el de la menor, i amb valors m-R i m-r tracem arcs a dalt i a baix des de la circumferència corresponent. Aquesta operació ens permet trobar dos punts 1 i 2 des dels quals tracem rectes que passin pels centres fins a intersecar en els punts de tangència corresponent els perímetres de les circumferències. Amb el valor 1-t1 des de 1 traçarem el primer arc o la primera circumferència que passarà per t1 i t4, a continuació des de 2 amb valor de radi 2-t2 tracem un segon arc o segona circumferència que passarà per t2 i t3. Aquestes seran les solucions que cercàvem. En aquest exemple només hem marcat els arcs convexos en vermell.
11) Circumferències tangents exteriors a dues circumferències donades. Aquest problema també pot ser enunciat de la següent forma: Enllaç de dues circumferències donades per mitja d'arcs de circumferència concaus: A una mesura arbitrària se li sumen els radis de la circumferència major i el de la menor, i amb valors m+R i m+r, tracem arcs a dalt i a baix des de la circumferència corresponent. Aquesta operació ens permet trobar dos punts 1 i 2 des dels quals tracem rectes fins els centres, sobre aquestes línies quan aquestes intersectin la circumferència trobarem els punts de tangència. Amb el valor 1-t2 des de 1 traçarem el primer arc o la primera circumferència que passarà per t2 i t3, a continuació des de 2 amb valor de radi 2-t1 tracem un segon arc o segona circumferència, segons el cas, que passarà per t1 i t4. Aquestes seran les solucions que cercàvem. En aquest exemple només hem marcat els arcs concaus en vermell.
12) Circumferències tangents consecutivament a dos costats d'un triangle i tangents entre si: En primer lloc per que les circumferències siguin tangents consecutivament a dos costats hem de traçar necessàriament dues bisectrius del triangle on sabem que es trobaran els centres de les solucions, a continuació, tracem una paral·lela arbitrària n, al costat AB del triangle. En intersecar n a les dues bisectrius trobarem els punts 1 i 2 des dels quals traçarem perpendiculars al costat AB, amb aquest valor traçarem dos arc que tornaran a intersecar n en els punts 3 i 4 pels quals, des de B i des de A traçarem rectes que ens donaran el punt de tangència entre les dos circumferències solució. Com que els centres de dues circumferències tangents han de estar alineades amb el seu punt de tangència i, com que les circumferències solució havien d'estar sobre les primeres bisectrius dels angles de vèrtex A i B, per T fem passar una paral·lela a AB que ens permetrà trobar els centres O1 i O2 de les dues solucions possibles. O1-T i O2-T són els radis de les dues circumferències solució.
13) Circumferències tangents a una altra que passin per un punt donat M i tinguin un radi M també donat: Aquest problema pot tenir dues o quatre solucions, segons la posició relativa dels elements intervinents. En aquest cas us presentem una resolució de 2 solucions. En primer lloc amb radi R + M tracem un arc sobre el que es trobaran les solucions, a continuació, per determinar la situació dels punts O1 i O2 des de M amb radi M tracem dos arcs sobre l'arc R + M. Finalment, ajuntant per mitjà de línies rectes els centres O1 i O2 amb el centre O trobarem els punts de tangència i ja podrem procedir a traçar les dues circumferències solució.
14) Tangents exteriors a dues circumferències: En primer lloc li restem al radi major el radi menor i amb R - r, tracem una circumferència concèntrica interior a la major de les dues circumferències donades, la de centre O. Tot seguit des del centre O', tracem les tangents exteriors a la circumferència de radi R - r, tot traçant la mediatriu entre O - O'. Des del punt mig entre O - O' traçem una circumferencia de radi 1/2 O - O' que en permetrà trobar els punts de tangència T1' i T2'. Des del centre traçarem línies rectes que passin per T1' i T2' les quals per intersecció ens permetran trobar els punt de tangència T1 i T2 per on passaràn les tangents solució, les quals, com podeu veure són paral.leles a les tangents de O' a la circumferència de radi R - r.
15) Tangents interiors a dues circumferències: En primer lloc li sumem al radi major el radi menor i amb R + r, tracem una circumferència concèntrica exterior a la major de les dues circumferències donades, la de centre O. Tot seguit des del centre O', tracem les tangents exteriors a la circumferència de radi R + r, tot traçant la mediatriu entre O - O'. Des del punt mig entre O - O' traçem una circumferencia de radi 1/2 O - O' que en permetrà trobar els punts de tangència T1 i T2. Des del centre traçarem línies rectes que passin per T1 i T2 les quals per intersecció ens permetran trobar els punt de tangència T1' i T2' per on passaràn les tangents solució, les quals, com podeu veure són paral.leles a les tangents de O' a la circumferència de radi R + r.
16) Tangents exterior a dues circumferències, mètode homotètic.- Tenim dues circumferències de centre O1 i O2. En primer lloc tracem la recta que passa per aquests dos centres, a continuació i de forma arbitrària tracem els radis r1 i r2 paral.lels entre si que ens permeten trobar els punts 1 i 2, pels quals tracem una recta que intersecarà la recta dels centres en el punt O. Trobem el punt mig entre O-O1 que està sobre la mediatriu n i que anomenem 1, des del qual tracem r1 amb valor 1-O1 per trobar els punts de tangència T1 i T1'. A continuació trobem el punt mig entre O-O2 que està sobre la mediatriu m i que anomenem 2, des del qual tracem r2 amb valor 2-O2 per trobar els punts de tangència T2 i T2'. Per T1 i T2 passa la tangent exterior superior i per t1' i t2' passa la tangent exterior inferior.
17) Tangents interiors a dues circumferències, mètode homotètic.- Tenim dues circumferències de centre O1 i O2. En primer lloc tracem la recta que passa per aquests dos centres, a continuació i de forma arbitrària tracem els radis r1 i r2 paral.lels entre si que ens permeten trobar els punts 1 i 2, pels quals tracem una recta que intersecarà la recta dels centres en el punt O. Trobem el punt mig entre O-O1 que està sobre la mediatriu n i que anomenem 1, des del qual tracem r1 amb valor 1-O1 per trobar els punts de tangència T1 i T1'. A continuació trobem el punt mig entre O-O2 que està sobre la mediatriu m i que anomenem 2, des del qual tracem r2 amb valor 2-O2 per trobar els punts de tangència T2 i T2'. Per T1 i T2' passa una tangent interior i per t1' i t2 passa l'altra tangent interior.

Construeix mitjançant tangències les lletres de les teves inicials.
Webs relacionades