|
Hi
ha un conjunt d'exercicis de tangències que es poden
resoldre d'una manera senzilla, tenint en compte un conjunt
de llocs geomètrics
( conjunts de punts sotmesos a una
mateixa condició. Els conjunt de punts que formen llocs
geomètrics en les imatges estan representades en vermell
). Ja haviem dit que una tangència és una relació
límit entre rectes i corbes o corbes i corbes, basades
en un únic punt de contacte, el punt de tangència,
un punt importantissim que a la pràctica cal assenyalar
sempre. Anem a veure les propietats fonamentals de les tangències
i quins son aquests llocs geomètrics
que en poden permetre resoldre problemes elementals de tangències.
|
|
|
|
0.1)
Si dos circumferències són tangents, el punt de
tangència i els dos centres de les circumferències
són col.lineals, o el que és el mateix pertanyen
a la mateixa recta
|
|
|
|
0.2)
A una recta tangent a una circumferència li correspon
un únic radi amb el qual estableix una relació
normal, de perpendicularitat. Dit d'altra manera a cada radi
li correspon una tangent perpendicular a aquest en el punt de
tangència.
|
|
|
|
0.3)
El centre de qualsevol circumferència que passi per dos
punts esta situat sobre la mediatriu d'aquests dos punts. Dit
d'una altra manera, qualsevol radi perpendicular a una corda
la divideix en dues parts igual perquè és la seva
mediatriu.
|
|
|
|
0.4)
El centre de qualsevol circumferència quan és
tangent a dues rectes es troba a la bisectriu de l'angle que
formen o pertany a una recta paral.lela a les dues tangents
equidistant a aquestes.
|
|
|
|
1)
A cada un dels radis d'una circumferència li correspon
una sola tangent i les dues línies estan en relació
normal, altrament dit en relació de perpendicularitat.
Dit d'altra manera, a cada línia tangent a una circumferència
li correspon en el seu punt de tangència un radi perpendicular.
Els punts d'una circumferència són el lloc geomètric
on s'aparellen en relació de perpendicularitat els corresponents
radis i tangents.
|
|
|
|
2)
La bisectriu és un lloc geomètric fonamental en
relació a les tangències i enllaços, és
el lloc geomètric dels punts del plànol que equidisten
en un angle de dos punts també equidistants del vèrtex.
En la figura, per exemple, T i T' son punts equidistants del
vèrtex. Podem veure que des del centre O2 i O3 podem
traçar circumferències que passin per T i T',
però, només la circumferència de centre
O1 es tangent als costats en els punts T i T'. Això és
així perquè en el Centre O1es compleix també
la norma de que el radi i la tangent estan en relació
de perpendicularitat.
|
|
|
|
3)
La mediatriu és un lloc geomètric fonamental en
relació a les tangències i enllaços per
la seva simetria axial. La mediatriu d'un segment és
el lloc geomètric dels punts del plànol que equidisten
dels extrems d'aquest segment o de dos punts també equidistants
de la intersecció de segment i mediatriu. En la figura,
per exemple, veiem, una manera de trobar el centre d'un arc
de circumferència o de circumscriure una circumferència
en un triangle o fer passar una circumferència per tres
punts no alineats. De fet els tres son un mateix problema. Si
en el exemple de la dreta li trèieu el triangle i només
deixeu els punts ABC resoldreu la manera de fer passar una circumferència
per tres punts no alineats.
|
|
|
|
4)
El centres de les circumferències de radi R que passen
per un mateix punt M, és una circumferència de
centre M am el mateix redi R que les circumferències.
|
|
|
|
5)
El conjunt de centres de les circumferències que passen
per dos punts donats M i N estan situats a la mediatriu del
segment que les uneix.
|
|
|
|
6)
Els centres de les circumferències tangents a una recta
n, en un punt T, estan sempre continguts en una perpendicular
en el mateix punt T esmentat.
|
|
|
|
7)
Els centres de les circumferències tangents a una donada
en un punt te es troben en la perllongació del radi que
uneix el centre O i el punt de tangència T.
|
|
|
|
8)
Els centres de les circumferències de radi R donat tangents
a una recta n, estan situats en rectes paral.leles a la recta
n donada, a distància R.
|
|
|
|
9)
Els centres de les circumferències de radi r donat tangents
exteriors a una circumferència donada de centre O i radi
R, es troben en una circumferència concèntrica
exterior a la donada de radi R + r.
|
|
|
|
10)
Els centres de les circumferències de radi r donat tangents
interiors a una circumferència donada de centre O i radi
R, es troben en una circumferència concèntrica
interior a la donada de radi R - r.
|
