© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar.
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
POTÈNCIA
28

1) Representació gràfica de la potència.- La potència és una relació matemàtica que es basa en la proporcionalitat inversa. Anomenem potència d'un punt P en relació a una circumferència, al producte dels segments determinats per aquest punt i els d'una secant traçada des del mateix punt PM i PN o PA i PB en el cas de la figura. A la mateixa figura podem observar que els triangles PAN i PBM son semblants perquè tenen l'angle a en comú, així com els angles b sobre N i sobre B són també iguals, perquè també ho són els angles sobre M i sobre A dels triangles definits. Una vegada comprovat que son triangles semblants, podem expressar que PA / PM = PN / PB i també que PM x PN = PA x PB = K.
2) Representació gràfica de la potència negativa, potència igual a zero i de la potència en funció del radi.- A la figura superior tenim definides la potència negativa amb els punts verds i a potència igual a zero amb punts grocs. La potència definida en funció del radi de la circumferència la definirem en el següent apartat ( 3 ). Els punts exteriors de les circumferències donen potencies positives, com en el cas definit gràficament a la figura ( 1 ). Quan el punt que es relaciona amb la circumferència es interior a ella la potència és negativa ja que els dos segments tenen sentit invers, un sentit positiu i un sentit negatiu, per tant els producte d'ambdós es negatiu. Quan el punt que es relaciona amb la circumferència pertany a aquesta la potencia és zero ja que un dels seus segments és zero per tant el producte dels dos segments en aquest cas és zero.
3) Representació gràfica de la potència en funció del radi.- Si tracem una secant des del punt P que es relaciona amb la circumferència que passi pel centre O de la circumferència, tindrem que si definim d com la distància del punt al centre de la circumferència, veurem que PM esdevé d - r, entès r com el radi d la circumferència i, en canvi PN esdevindrà d + r. Per això podem definir la potència en relació al radi de la circumferència de la següent forma: P = ( d + r ) x ( d - r ) = K = d2 - r2 ( d quadrat - r quadrat ).
4) Representació gràfica de la potència per mitjà de la tangent ila seva demostració .- En els cassos on relacionem un punt exterior, de potència positiva, si prenem la tangent com a secant limit, podem definir la potència en funció del segment PT.
P = PT x PT = PT2 ( PT quadrat ). Si prenem com a triangles PMT' i PNT', els quals són semblants en tenir l'angle a en comú ja que a sobre T' i N són iguals un per ser semiinscrit i el segon per ser inscrit i del mateix arc, per tant el tercer angle a sobre P també ho és. Ho expressarem així, PM / PT = PT / PN o també, PA x PT = PT x PT = K, que és la constant de potència del punt respecte de la circumferència.
5) Segments representatius de la potència positiva i negativa.- En les figures superiors podeu veure els segments representatius de la potència, tan en el cas de la potència negativa, a l'esquerra, com el de la potència positiva a la dreta. Cal recordar que d és la distància del punt que interactua amb la circumferència al centre de la circumferència.
6) Eix radical de dues circumferències.- Els eixos radicals sempre són perpendiculars al segment determinat pels dos centres i en aquest cas l'hem trobat traçant des de O1 un segment verd arbitrari, al qual traçarem una paral.lela també en verd des d'O2 en sentit invers, tot unint aquests dos punts en intersecar el segment amb el que uneix els dos centres trobarem P. La perpendicular a P és l'eix radical que cercàvem. L'eix radical és el lloc geomètric dels punts del plànol que tenen, un per un, la mateixa potència respecte de les dues circumferències C1 i C2.
7) Determinació de l'eix radical de dues circumferències. Definició i cassos secants i tangents.- En el cas que dues circumferències siguin tangents el seu eix radical passarà per aquest punt de tangència perpendicular al segment determinat pels dos centres. En canvi si dues circumferències són secants l'eix radical quedarà definit pels dos punts d'intersecció, evidentment, mantindrà la perpendicularitat al segment determinat pels dos centres.
8) Determinació de l'eix radical de dues circumferències, exteriors i interiors.- En dues circumferències exteriors c1 i c2 el que farem serà traçar una circumferència auxiliar c' que talli les circumferències donades, d'aquesta respecte de cada una de les donades determinem el seu propi eix radical. Des del punt on es trobin aquests dos eixos radicals auxiliars traçarem una perpendicular al segment definit per O1 i O2 i, aquest serà l'eix radical que cercàvem.
9) Un centre radical de l'infinit i un feix coaxial secant.- En el cas de circumferències secants de centres colinials el seus eixos radicals O1 respecte d'O2 i d'O2 respecte d'O3 seran, evidentment, perpendiculars al centres de totes elles i, per tant, paral.lels entre ells. Com veurem en el apartat (11) on definim el centre radical de més de dues circumferències, en aquest cas el centre radical seria impropi i allotjat a l'infinit. A la part dreta superior d'aquest gràfic podem veure un conjunt de circumferències, les quals tenen el mateix eix radical, d'aquest conjunt de circumferències amb aquestes característiques se'n diu feix coaxial i en aquest cas, feix coaxial secant.

10) Eix radical d'un feix de circumferències tangents i feix ortogonal no secant.- En el gràfic superior podem veure un nou feix coaxial, en aquest cas un feix coaxial tangent. Si un conjunt de circumferències tenen el mateix eix radical exterior i no son secants entre elles podem parlar d'un feix ortogonal, ho podem veure en la figura immediatament superior a aquest comentari. Hem representat en verd le duples tangents-radis i en vermell la circumferència que determina la igualtat de totes les tangents.

11) Centre radical de tres circumferències.- En el gràfic superior podem veure que els eixos radicals de tres circumferències secans amb centres no alineats es troben en un punt, el qual te la mateixa potència respecte de les tres circumferències i que anomenem centre radical. En la figura immediatament superior a aquest text podem veure la definició dels eixos radicals respecte de tres circumferències exteriors, de centres no colinials, el seu centre radical i les tangents traçades des del centre radical, les quals tenen el mateix valor mètric en compartir i esdevenir el radi de la circumferència traçada des d'ell mateix fins els punts de tangència.

12) Determinació del centre radical de tres circumferències en els cassos secants i tangents.- Per trobar el centre radical de tres circumferències secants només que tenim que traçar els eixos radicals fent servir dos parelles de punts d'intersecció entre dues parelles de circumferències. Ho podeu veure a la figura superior de les dues que teniu a sobre d'aquest text. Directament a sobre d'aquest text tenim la manera de trobar el centre radical de tres circumferències tangents de centres no alineats. Tracem primer els dos eixos radicals i, on es creuïn, serà el punt que cercàvem, el centre radical respecte de les tres circumferències.
13) Determinació del centre radical de tres circumferències ni secants ni tangents.- En el cas de les circumferències exteriors, de centres no alineats, per trobar el centre radical ens veurem obligats a traçar una circumferència auxiliar que talli les altres tres. Les parelles d'interseccions de la circumferència auxiliar amb les circumferències c1, c2 i c3, ens donara tres punts des dels quals traçarem perpendiculars als segments determinats pels centre O1, O2 i O3 per trobar els eixos radicals referits a cada parella de circumferències. On es trobin aquests eixos radicals sera el centre radical CR que cercàvem i podeu veure a la figura immediatament superior.

C

Webs relacionades