© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar.
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
TANGENCIES:
EXERCICIS EMPRANT, INVERSIÓ, POTENCIA I EIX RADICAL
19
PROBLEMES DE TANGÈNCIA RESOLTS PER POTÈNCIA

1 ) Circumferències tangents a una recta m i a una circumferència C, donat, també el punt de tangència T .- Sabem que els centres de les circumferències solució estaran alineats amb el punt de tangència. Podem procedir traçant la tangent t a C en aquest punt T, així podrem determinar el punt P. El segment PT és representatiu de la potencia de P respecte de la circumferència C, però, tembé ho serà respecte de les dues circumferències solució. Si tracem l'arc amb el valor representatiu de la potència trobarem els punts de tangència T1 i T2, des dels quals tot aixecant perpendiculars a m, aquestes ens permetran trobar en la intersecció am la recta definida per O i T els centres de les dues solucions O1 i O2.
2 ) Circumferències tangents a una recta m i a una circumferència C, donat, també el punt de tangència T .- Comencem traçant una circumferència auxiliar de centre O' que sigui tangent a m en el punt T i que talli la circumferència donada C en els punts 1 i 2. És evident que el centre de la circumferència auxiliar es trobarà a la perpendicular a m en el punt T. A continuació traçarem una recta que passi per 1 i 2, la qual per intersecció amb m ens donarà el punt 3. Des del punt 3 fins T que és el segment representatiu de la potència tracem un arc, el qual ens permetrà trobar els punts de tangència T1 i T2 per on passen les circumferències solució. Per trobar els centre O1 i O2, des d'O tracem rectes que passin per T1 i T2, les quals en intersecar la perpendicular a m en el punt T, en permetra trobar aquests centres.

3 ) Circumferències tangents a dues circumferències C i C', donat el punt de tangència T en una d'elles, en aquest cas sobre C.- En primer lloc tracem una línia definida pels punts T i el centre O. Sobre aquesta línia situem el centre auxiliar O_aux que passi pel punt T donat i que talli la circumferència C' en els punts 1 i 2. Tot seguit per 1 i per 2 tracem una línia que en intersecar la tangent a C en el punt T, ens permet trobar el punt P des del qual podrem trobar amb radi PT els punts de tangència T1 i T2. A continuació des d'O' tracem rectes que passin per T1 i T2, les quals en intersecar la recta definida pels punts O i T, ens permetran trobar els centres de les solucions O1 i O2.
4 ) Circumferències tangents a dues rectes m i n que és tallen, que passin per un punt donat P.- En primer lloc tracem la bisectriu de l'angle que formen m i n, Tot seguit, des de P tracem una perpendicular a aquesta bisectriu, la qual cosa ens permet definir N que és un punt axialment simètric de P respecte de la bisectriu i, el punt M sobre n. Des d'un punt arbitrari de la bisectriu tracem una circumferència arbitraria de centre O_aux que passi per P i N. Des del punt M tracem la tangent a la circumferència auxiliar la qual representa la potència d'M respecte d'aquesta circumferència. Des d'M i per R radi la tangent, tracem un arc que ens donarà els punts A i B, des dels quals aixecarem unes perpendiculars, les quals en intersecar la bisectriu ens donara els centres de les dues solucions O i O'.
5 ) Circumferències tangents a dues rectes m i n, i tangents a una circumferència C .- Depenent de la posició relativa dels elements podem trobar més o menys solucions a aquest problema de tangències, aquí teniu un problema amb les quatre màximes solucions. En primer lloc tracem rectes paral.leles a n (és suficient) a una distància r que és el radi de la circumferència C donada, per definir les rectes n' i n''. Tot seguit des del centre de la circumferència O tracem una recta perpendicular a la bisectriu de l'angle que formen m i n, per trobar els punts 3 i 4. Des del centre d'intersecció de la perpendicular O amb radi OO, tracem una circumferència auxiliar. Des del punt 4 definim amb la tangent a la circumferència auxiliar la potència P1 de 4 respecte a ella per trobar els punts 5 i 6. des dels quals aixecarem unes perpendiculars, les quals en intersecar la bisectriu d'm i n ens donara els centre O1 i O2 de les dues primeres solucions. Des de 3 definim la potencia de 3 P2 respecte de la circumferència auxiliar, amb la qual trobem els punts 7 i 8, des dels quals aixequem perpendiculars, les quals en intersecar la bisectriu en permetran trobar els centres de dues solucions més de centre O3 i O4.
6 ) Circumferències tangents a dues rectes m i n que siguin tangents a una circumferència C, un altre cas.- Circumferències tangents a
7 ) Circumferències tangents a una recta m i que passin per dos punts A i B.- Circumferències tangents a
8 ) Circumferències tangents a una a una circumferència C, que passin per dos punts A i B .- Circumferències tangents a
PROBLEMES DE TANGÈNCIA RESOLTS PER INVERSIÓ
La propietat fonamental de la inversió és que sempre es mantenen les tangències, la qual cosa vol dir que a dues figures originàries tangents li corresponen dues circumferències inverses també tangents i, tots els punts de tangència d'aquestes figures homòlogues estan alineats amb el centre d'inversió.
En aquest cas si c és tangent a m les seves figures inverses c' i m' també ho són com podem comprovar al gràfic superior.
Dues figures tangents qualsevulla mantenen la tangència en el cas que els hi apliquem una inversió.
9 ) Circumferències tangents a una recta m, a una circumferència C i que passin per un punt P (exteriors a la donada).- En el cas en que el punt P no pertanyi a la circumferència ni a la recta i aquestes no es tallen, obtindrem quatre solucions. Partim d'O com a centre d'inversió que relaciona la circumferència de centre O amb la recta m. Tracem una recta des del centre d'inversió O que passi per P i que ens permet trobar el punt 1. Tracem des del centre d'inversió O una perpendicular a m que ens permetrà trobar A' i A. Tot seguit fem passar una circumferència auxiliar pels punts P, P', A' i A. Des de 1 tracem la tangent a la circumferència auxiliar que serà l'expressió de la seva potència, i amb aquest valor tracem un arc que ens permetrà trobar els punts de tangència de dues de les solucions T i T'. Sobre les perpendicular a a m traçades des de T i T' es trobaran els centres d'aquestes solucions i concretament en els punts d'intersecció d'aquestes amb la mediatriu entre P i P' i que seran O1 i O2 els centres de les dues solucions de circumferències exteriors tangents a la de centre O donada i que passen pel punt P. A la part inferior d'aquest text tenim les altres dues solucions, en aquest cas les que contenen la circumferència de centre O donada.
10 ) Circumferències tangents a una recta m, a una circumferència C i que passin per un punt P. Circumferències que contenen la donada.- Comencem traçant la perpendicular A A' que passa pel centre O i és perpendicular a la recta m. Tot seguit tracem la circumferència auxiliar de centre O' la qual ha de passar pels punts A, A' i P (per tres punts i passa una circumferència traçant les mediatrius dels segments que conformen els tres punts). Tracem la tangent de la circumferència de centre O', perpendicular a m. Aquesta tangent és l'expressió de la potència del punt 1 respecte de la circumferència de centre O'. Des del punt 1 amb el valor de la potencia tracem un arc que ens permetrà trobar T i T' sobre m. Des de T i T' tracem linies que passin pel centre d'inversió O per trobar T1 i T'1, uns punts que seran els punts de tangència de les circumferències solució sobre la circumferència donada. Aixecarem perpendiculars a m des de T i des de T', les quals en intersecar les mediatrius dels segments T T1 i T' T'1 ens donaran els centres O1 i O2 de de les circumferències solucions.
11 ) Circumferències tangents a una recta m i a dues circumferències C1 i C2. El cas de les circumferències externes.- Amb el valor R que és el radi de la circumferència C1, tracem una circumferència auxiliar en el interior de la circumferència C2. Tot seguit tracem també a distància R una paral.lela m' a m. A continuació tracem una perpendicular a m' des del centre O2. En aquesta perpendicular tindrem els punts O que és el centre d'inversió, A i A'. Traçarem una circumferència auxiliar de centre O' que passi per A, per O1 i per A', tot trobant el centre de la circumferència que passa per aquests tres punts. Determinem el punt B sobre m' traçant una recta des de O (centre d'inversió) que passi per O1. Des del punt B determinem la potencia respecte la circumferència O' per mitjà de la tangent P per poder definir els punts 1 i 2. En aixecar les perpendiculars a m' en els punts 1 i 2, quan aquestes intersequin la mediatriu del segment OB trobarem els centres O1 i O2 de dues solucions.
12 ) Circumferències tangents a una recta m i a dues circumferències C i C' (segon cas: circumferències que contenen les donades).- Comencem l'exercici traçant una paral.lela m' superior a m i a distància R que és el radi de la circumferència C1 donada. A continuació tracem una circumferència concèntrica a C2, amb el radi de la C2 - R. Des de O2 tracem una perpendicular a m' que ens donarà els punts O que és el centre d'inversió, B i B'. Per B, B' i O1 fem passar una circumferència auxiliar de centre O'. Tracem el segment OO1 i el perllonguem en els dos sentits per trobar O1' i A. Des del punt A trobem el segment representatiu de la potència respecte de la circumferència de centre O'. Amb el segment representatiu de la potència trobem els punts 1 i 2. Aixequem perpendiculars des dels punts 1 i 2 i, quan aquestes perpendiculars intersequin la mediatriu del segment O1O1' trobarem els centres O1 i O2 de les dues circumferències solució.


13 ) Circumferències tangents a dues circumferències C, C' i que passin per un punt P.- Circumferències tangents a
14 ) Circumferències tangents a dues circumferències C i C' que passen per un punt donat P (potència negativa) .- Circumferències tangents a
15 ) Circumferències tangents a dues circumferències C i C' , que passen per un punt P donat en una de les circumferències, C' en aquest cas.- Circumferències tangents a
16 ) Circumferències tangents a tres circumferències C i C' i C''. Problema d'Apoloni pel denominat mètode de Gergonne.- Circumferències tangents a

Construeix mitjançant tangències les lletres de les teves inicials.
Webs relacionades