© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar.
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
INVERSIÓ
29
C O N C E P T E S      D 'I N V E R S I Ó

La inversió és una teoria bàsica per a la resolució de problemes de tangències. També hem de considerar la inversió com una transformació geomètrica en la que s'han de complir unes determinades condicions. Quan dos punts estan en línia recta respecte d'un tercer punt fix C que anomenarem centre d'inversió i es compleixen amb altres parelles de punts homòlegs, que el producte de les distàncies dels punts al centre d'inversió és un valor constant K que anomenarem potència d'inversió, estem davant del conjunt d'elements geomètrics que defineixen la inversió. Tots els punts que compleixen aquestes condicions són anomenats punts inversos. De tot plegat podem deduir que dos punts inversos son concíclics el que és el mateix, que pertanyen a la mateixa circumferència, això es compleix sempre i quan el centre de inversió és exterior al perímetre de la circumferència.

T E O R E M E S    R E F E R I T S     A      L ' I N V E R S I Ó

1 ) La figura inversa d'una circumferència que passa pel centre d'inversió, és una recta que no passa per aquest centre i que és perpendicular a la recta que unex el centre de l circumferència amb el centre d'inversió.
2 ) La figura inversa d'una circumferència que no passa pel centre d'inversió és una altra circumferència que tampoc passa per aquest centre i que és homotètica respecte de la primera.

1) En aquesta figura tenim tots els elements gràfics d'una inversió, ones dona que CA x CB = CM x CN = K, on ja hem dit que K és la potència d'inversió. Podem dir que qun el centre d'inversió C es exteriro a la circumferència els punts inversos (per exemple A, B) són concíclics o el qe és el mateix pertanyen a la mateixa circumferència. Per altra banda el conjunt de punts com AM formen una figura que és inversa a la figura que formen BN. Diem que T i T' són punts dobles perquè són inversos d'ells mateixos, o el que és el mateix, la distància al centre de inversió és l'arrel quadrada de la potència d'inversió, CT x CT = K ; CT = a l'arrel quadrada de K.
2) En aquest cas, on el centre d'iversió està sobre la circumferència, la figura inversa de la circumferència de centre O, és la recta definida pels punts E,I,B,G i T' tal i com fa palès el teorema abans definit La figura inversa d'una circumferència que passa pel centre d'inversió, és una recta que no passa per aquest centre i que és perpendicular a la recta que uneix el centre de l circumferència amb el centre d'inversió, i on es confirmen les constants de la potència d'inversió: CF x CG = K , CA x CB = K, CD x CE = K, que AI x AH = K o que T T' x T T' = T T' quadrat = K.

3) En aquest cas on el centre d'inversió està fora de la circumferència i on segons el teorema definit en l'encapçalament del tema, la figura inversa d'una circumferència que no passa pel centre d'inversió és una altra circumferència que tampoc passa per aquest centre i que és homotètica respecte de la primera, es dona el fet que CA x CA' = K i on A i A' són punts inversos, CN x CN' = K (N i N' són inversos), CD x CD' = K (D i D' són inversos), CB x CB' = K (B i B' són inversos), CM x CM' = K (M i M' són inversos) i CT x CT' = K (T i T' són inversos). En el cas de que coneixem C, la circumferència de centre O2 i la potència K, podem trobar la figura inversa ja que sabem que:

;     , tinguem en compte que CA' és la tercera proporcional entre

l'arrel quadrada de K i CA. Això vol dir que una vegada conegut el punt A', només traçant una perpendicular a CA', obtindrem el centre O' de la circumferència de radi O'A'.

4) Dues rectes inverses formades per dues parelles de punts també inversos són sempre antiparal.leles. Quan les quatre rectes formades pels quatre punts inversos dos a dos es tallen, cada vèrtex del interior del quadrilàter defineix un angle igual a l'angle exterior del vèrtex oposat. Cada angle és suplementari de l'oposat que és una propietat dels quadrilàters inscriptibles.
5) En el cas que un dels punts sigui doble com per exemple T, i disposem, a més, d'un parell de punts inversos en una inversió, la circumferència passarà per tots tres punts T, A i A'. Això també passaria si disposem d'un parell de punts inversos i només un altre dels punt sense es seu invers, en aquest cas podríem trobar l'invers d'aquest últim aplicant l'exercici que ens permet fer passar una circumferència per tres punts no alineats.
6) Circumferència d'autoinversió o de punts dobles és una inversió de potència positiva. En aquest cas haurem de verificar la potència, la qual serà la que té per centre d'inversió i de radi, el valor de la tangent o el que és el mateix l'arrel quadrada de la potència K.
7) Rectes inverses de si mateixes són aquelles que passen pel centre d'inversió i on tots els seus punts i els seus inversos són col·lineals amb el centre d'inversió. Només tindran dos punts dobles en el cas que la potència sigui positiva.
8) Circumferències inverses de si mateixes són totes aquelles que contenen dos parells de punts homòlegs i on aquest punts no són dobles si exceptuem el d'intersecció amb la circumferència d'autoinversió en la potència positiva.
9) Cicumferència inversa de si mateixa un segon cas on també es compleix el que havíem dit en el punt 8.
10) Totes les rectes que no passen pel centre d'inversió tenen per inversa una circumferència que passa per aquest centre. El centre d'inversió estarà situat sobre la circumferència i col·lineal amb el centre de la circumferència i el punt de la perpendicular a la recta. Aquí podem veure dos cassos referits a la mateixa proposició.
11 ) En un plànol una recta i una circumferència, sempre es poden correspondre per mitjà de dos centres d'inversió, tot tallant amb una perpendicular la recta, des del centre de la circumferència, en els dos extrems del diàmetre definit per aquesta.
12 ) Quan una circumferència no passa pel centre d'inversió te com a circumferència inversa una circumferència que tampoc passa per aquest centre d'inversió, les quals es relacionen segons una homotècia que te per centre el centre d'inversió.
13 ) Obtenció de punts inversos donat el centre d'inversió i dos d'aquests punts inversos, M i M' i N que no és doble.- Si ens donen dos punts inversos i un altre punt que no és doble, podem trobar la circumferència inversa a més d'N' com a punt invers d'N, tot traçant les mediatrius dels segments que determinen. Aquestes mediatrius es trobaran en el centre O des del qual podrem traçar la circumferència que passa per M, M' i N. Tot traçant una recta definida per N i C trobarem N' i, a partir d'aquí, ja podem trobar el nombre de parells de punts inversos traçant rectes secants des de C sobre la circumferència.

14 ) Obtenció de punts inversos donat el centre d'inversió i dos punts inversos M i M' i T, sabent que T és un punt doble.- Si ens donen dos punts inversos i un altre punt que és doble, podem trobar la circumferència inversa respecte de C, tot traçant la mediatriu del segments M i N. Aquesta mediatriu es trobarà en el centre O, tot traçant, també, la perpendicular a CT. A partir d'aquí, primer podem traçar la circumferència i, després, ja podem trobar el nombre de parells de punts inversos desitjats traçant rectes secants des de C sobre la circumferència.

15 ) Obtenció de punts inversos donat el centre d'inversió i dos punts inversos M i M' alineats.- Si ens donen dos punts inversos M i M' i un altre punt que és doble, podem trobar la circumferència inversa respecte de C, tot traçant la mediatriu del segments M i N. Aquesta mediatriu es trobarà en el centre O, tot traçant, també, la perpendicular a CT. A partir d'aquí, primer podem traçar la circumferència i, després, ja podem trobar el nombre de parells de punts inversos desitjats traçant rectes secants des de C sobre la circumferència.

Construeix mitjançant tangències les lletres de les teves inicials.

Webs relacionades