© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar.
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES EN EL PLÀNOL / ESCALES
24

Anomenem transformació geomètrica en general a una operació que en permet obtenir una figura, tot partint d'una altra donada. Una transformació geomètrica estableix un seguit de relacions de correspondència entre els elements de les figures tan la figura d'origen com la figura resultant. Les transformacions geomètriques reben el nom de moviments geomètrics quan les figures d'origen i resultat conserven mesura i forma. En les transformacions geomètriques es pot donar el cas de que alguns elements d'aquestes no es transformen o esdevenen ells mateixos, aquests elements s'anomenen elements dobles o elements invariants. El concepte de transformació en geometria troba el seu equivalent matemàtic en el concepte de funció algebraica. Anomenem homografia a la correspondència de dues formes geomètriques, on a un element d'una forma li correspon un element d'un mateix tipus de l'altra, per exemple a un punt li correspon un punt a una recta una recta i, sempre segons unes lleis de relació determinades.


Trasformacions
geomètriques en el plànol
Trasformacions isomètriques
gir o rotació, igualtat, translació i simetria
Transformacions isomòrfiques
homotècia i semblança
Trasformacions anamòrfiques
equivalència

Podem classificar les transformacions geomètriques segons les característiques mètriques i formals de la figura resultant respecte de la d'origen. En el plànol parlarem de:
Transformacions isomètriques, les quals es caracteritzen per conservar magnituds i angles de la figura d'orígen o inicial. Aquestes transformacions isomètriques són el gir o rotació, la igualtat, la translació i la simetria.
Transformacions isomòrfiques, les quals es caracteritzen per per mantenir la forma de la figura d'origen, els angles iguals i les magnituds proporcionals. Aquestes transformacions isomòrfiques són l'homotècia i la semblança.
Per últim, tenim els transformacions anamòrfiques, aquest cas es caracteritza pel fet que la figura transformada és diferent respecte de la figura d'origen. Com exemple d'aquest tipus de transformació geomètrica tenim la equivalència.



1) Igualtat i identitat entre figures.- Figures iguals; diem que dues figures són iguals, quan els seus costats i els seus angles son iguals i, també, estan situats els seus elements amb el mateix ordre. Figures idèntiques; en canvi, diem que dues figures són idèntiques quan és poden sobreposar tots els seus elements i aquests esdevenen dobles. De totes maneres aquestes dues classificacions poden ser en certa forma sinònimes, si tenim en compte que ambdues amb un sol moviment 2D o 3D podem aconseguir superposar els seus elements i convertir-los amb dobles. Si reduïm les operacions de superposició només al plànol ( 2D ), aleshores haurem de dir que totes les figures que són idèntiques també són iguals, però, no totes les figures iguals són idèntiques. Les nostres mans, per exemple, poden ses superposades per mitja d'una rotació 3D però, ens serà impossibles del tot superposar-les si les mantenim a les dues en un mateix plànol per molt que girem. Quiralitat (del grec kheir: mà) és una propietat d'asimetria important en diverses branques de la ciència. Un objecte o un sistema és quiral si no pot ser superposat a la seva imatge especular.
2) Construcció de figures planes iguals per radiació ( transformació isomètrica ).- Partim d'un punt arbitrari interior O de la figura donada ABCDE el qual unim amb tots els vèrtexs interiors de la figura. A continuació tracem un circumferència de radi arbitrari que ens tallarà els segments recentment traçats en els punts 1, 2, 3, 4, 5. Tot seguit situem el punt O' a partir del qual traçarem la mateixa circumferència que havíem traçat des de O. Ara serà el moment de traçar rectes des de O' paral.leles a les que havíem traçat anteriorment des de O. Tot seguit transportem les mesures OA, OB, etc... tot situant-les a partir de O' per trobar consecutivament els punts A, B, C, D, E, els quals completaran la construcció de la figura igual a la d'orígen.
3) Construcció de figures planes iguals per triangulació ( transformació isomètrica ).- Des del vèrtex B em traçat un feix de segments BD, BE, BF i BG per tal de triangular la figura. A continuació des de B hem traçat una paral.lela a BC i hem concretat la mesura del segment BC. A partir d'aquí hem anat aplicant l'exercici de la construcció d'un triangle coneguts els seus costats, com podeu veure des de C amb radi CD i des de B amb radi BD hem pogut trobar el punt D per creuament d'arcs. Així procedirem consecutivament amb tots els triangles fins trobar ABCDEFG.
4) Construcció de figures planes iguals per mitjà de perpendiculars ( transformació isomètrica ).- Tracem una recta, a partir de la qual aixequem perpendiculars fins els punts ABCDEFG de la figura donada. A continuació, dupliquem els valors mètrics dels segments 1234567 definits sobre la recta. Des de 1234567, aixequem perpendiculars amb els valors mètrics 1A, 1B, 1C, etc...la qual cosa ens permetrà trobar els punts ABCDEFG de la figura igual a la d'orígen.
5) Construcció de figures planes iguals per mitjà del transport d'angles ( transformació isomètrica ).- Comencem per traçar una recta paral.lela a BC la qual és BC. A continuació transportem els angles extrems del segment 2 i 3. A partir de C sobre el nou costat trobat transportem el valor mètric CD. Transportem sobre D l'angle 4, trobarem un nou costat de l'angle sobre el que assenyalarem el valor mètric DE. I així successivament fins completar ABCDEFG.
6) Transformació geomètrica per translació d'una figura ( transformació isomètrica ).- Hem de definit la translació com un moviment rectilini amb un sentit determinat, on cada un dels punts de la figura d'origen es desplaça una mateixa mesura concreta. AA, BB, etc... són totes, mesures iguals. La translació pot ser considerada també com una homotècia de centre impropi.
7) Els dos tipus de simetries bàsiques ( transformació isomètrica ).- La paraula simetria ve del grec, Plató va vincular symmetros a les simetries de les anomenades figures platòniques, segons ell la simetria guarda el secret de la matèria i també explica l'origen de l'amor. Symmetros vol dir syn ( igual ) i metros ( mesura ). Les mateixes mesures del significat de la paraula simetria queden definides respecte de dos elements geomètrics bàsics, el punt en la simetria central i la recta en la simetria axial. En la simetria central, parlem de centre de simetria i en la simetria axial parlem d'eix de simetria.
8) Transformació geomètrica per simetria central d'una figura ( transformació isomètrica ).- En aquest cas els punts homòlegs, AA', BB' ... tenen el mateix allunyament mètric respecte d'O, que és el centre de simetria. En aquesta simetria com podeu veure per reconvertir la figura resultant amb la figura d'origen o el que és el mateix si les volguéssim superposar ens veuríem obligats a fer dos moviments geomètrics una translació sobre el vector D'D, per exemple i una rotació de 180º sobre D.
9) Transformació geomètrica per simetria axial d'una figura ( transformació isomètrica ).- En aquest cas els punts homòlegs, AA', BB' ... tenen el mateix allunyament mètric respecte de l'eix de simetria. En aquesta simetria com podeu veure per reconvertir la figura resultant amb la figura d'origen o el que és el mateix si les volguéssim superposar ens veuriem obligats a fer dos moviments geomètrics una translació sobre el vector C'D, per exemple i una rotació de 180º sobre D, els punts no coincidirien per tant estaríem davant d'una igualtat i no d'una identitat de figures, per altra banda, si fem una rotació 3D, un abatiment de 180º sobre l'eix de simetria, si que feriem coincidir les dues figures i llavors es produiria una identitat ja que els punts homòlegs coincidirien.
10) Transformació geomètrica per gir o rotació d'una figura ( transformació isomètrica ).- Aquesta es una transformació geomètrica que ens permet moure una figura al voltant d'un punt fix que anomenem centre de rotació O. El centre de rotació pot estar contingut a l'interior de la figura, al contorn com és aquest cas o extern com el cas que teniu en l'exercici següent. Cal tenir en compte en aquesta transformació geomètrica a més del centre de rotació, el sentit del gir i el valor de l'angle de rotació. En una rotació es conserven les magnituds de contorn de la figura i els angles, en tot cas, només canvien d'orientació i posició.
11) Transformació geomètrica per gir o rotació d'una figura, coneixent-ne el centre i l'angle de gir ( transformació isomètrica ).- Aquesta es una transformació geomètrica que ens permet moure una figura al voltant d'un punt fix que anomenem centre de rotació O. El centre de rotació en aquest cas és extern. Cal tenir en compte en aquesta transformació geomètrica a més del centre de rotació, el sentit del gir i el valor de l'angle de rotació. En una rotació es conserven les magnituds de contorn de la figura i els angles, en tot cas, només canvien d'orientació i posició. en aquest segon exercici com podeu observar hem canviat el sentit de gir.
12) Trobar el centre de rotació de dues figures homòlogues producte d'una rotació. ( transformació isomètrica ).- Si ens donen dues figures homòlogues producte d'una rotació i volem trobar el centre de rotació només tenim que unir dos parells de punts homòlegs per mitjà de segments, les mediatrius d'ambdós ens donaran per intersecció en centre de rotació que cercàvem.

12_B ) Rotació d'una recta ( transformació isomètrica ).- Per fer una rotació d'una recta donada hem de traçar des del centre de rotació O un perpendicular a aquesta situar el valor de l'angle de rotació sobre la perpendicular en el sentit desitjat. A continuació sobre el nou costat de l'angle tracem el valor OM, el qual ens permetrà trobar el punt homòleg M'.

12_C ) Rotació d'una figura coneguen-ne el centre de rotació i l'angle de rotació ( transformació isomètrica ).- Per fer una rotació d'una circumferència hem d'unir mitjançant un segment el centre M de la circumferència donada amb el centre de rotació O . Una vegada fet això, sobre MO i a partir del centre de rotació, tracem l'angle com a valor de rotació i en el sentit desitjat. Sobre el nou costat de l'angle tracem el valor OM, el qual ens permetrà trobar el punt homòleg M' des del qual traçarem, amb el mateix radi de la circumferència de centre M la circumferència que havíem de girar.
13) La homotècia com a transformació geomètrica ( transformació isomòrfica ).- La homotècia és una transformació geomètrica isomòrfica en que cada punt A li correspon un homòleg A' i tots dos estan alineats (són col.lineals) amb un punt fix O anomenat centre d'homotècia i on sempre queda determinada la següent relació OA' / OA = K = raó d'homotècia.
14) Construcció de figures homotètiques coneguen el centre i la raó d'homotècia ( transformació isomòrfica ).- Tenim una figura ABC, una raó d'homotècia de K = 5 / 4 i el centre d'homotècia O. En primer lloc unim per mitjà d'una recta, el centre d'homotècia O amb el punt C de la figura i, dividim aquest segment en quatre parts per, a continuació, sobre la perllongació del segment OC afegir una subdivisió 1 / 4 d'OC, la qual ens determinarà el punt C'. Tot seguit primer tracem rectes des del punt O que passin per B i per C, a continuació des del punt C' tracem paral.leles als segments CA i CB les quals en intersecar les línies traçades des del centre d'homotècia O ens permetran definir els punts A' i B' que en mancaven per definir la figura resultant.
15) Construcció de figures homotètiques coneguent el centre i dos punts homotètics ( transformació isomòrfica ).- Coneixem per afrontar el problema i com a plantejament els elements dibuixats en groc. Procedirem, en part, com en el cas anterior, traçant línies des del centre d'homotècia O que passin pels punts C, D i A. Tot seguit, des de B' tracem paral.leles consecutivament als segments BC i BA per anar trobant els punts C', A' i, finalment, D'.
16) Definició de l'homotècia coneguen dues figures homotètiques ( transformació isomòrfica ).- Si el que tenim son dues figures homotètiques només ens faltarà per definir la homotècia i el seu coeficient i raó d'homotècia K. Una vegada definit el centre d'homotècia O immediatament ja podrem establir la relació OA' / OA = K, tot i que amb la relació C'B' / CB = K ja tindríem establerta la raó homotètica entre les dues figures, trobar el centre d'homotècia, de fet, confirmaria el tipus de transformació que relaciona aquestes dues figures.
17) Tipus d'homotècies; homotècia directe ( transformació isomòrfica ).- Quan els punts homòlegs de la figura d'origen i la resultant es troben en el mateix costat respecte del centre d'homotècia hem de parlar de homotècia directe o homotècia positiva. Podem determinar tres tipus de raons homotètiques positives , una quan aquesta es major que la unitat, dos quan és igual a la unitat i, per acabar, quan és menor que la unitat.
18) Tipus d'homotècies; homotècia inversa ( transformació isomòrfica ).- Quan els punts homòlegs de la figura d'origen i la resultant es troben en costats diferents respecte del centre d'homotècia hem de parlar de homotècia inversa o homotècia negativa. Podem determinar tres tipus de raons homotètiques negatives , una quan aquesta es major que - 1, dos quan és igual a - 1 i, per acabar, quan és menor que - 1 .
19) Centres d'homotècia directe i d'homotècia inversa ( transformació isomòrfica ).- Com havíem dit, els centre d'homotècia directe es troben a un costat respecte dels punts homòlegs de les figures d'origen i les resultants, mentre que en l'homotècia negativa el centre d'homotècia té els punts homòlegs a banda i banda.
20) Centre d'homotècia directe de dues circumferències 1 ( transformació isomòrfica ).- L'homotècia entre dues circumferències ens permet resoldre en aquest cas un problema de tangències com podeu veure en les figures. Observeu que OA i OA' són paral.leles i que per AA' i passa una recta que en intersecar la recta definida pels centres ens permet trobar O, el centre d'homotècia positiva, en aquest cas. A la imatge inferior podeu veure la tangent comú a les dues circumferències , cal també veure que els radis OT i OT' són també paral.lels.
21) Centre d'homotècia inversa de dues circumferències 1 ( transformació isomòrfica ).- El mateix cas que l'anterior però de raó d'homotècia inversa.
22) Característiques i definició de semblança ( transformació isomòrfica ).- Dues figures poden ser definides com a semblants quan tenen els angles iguals i els costats proporcionals, també anomenem els elements geomètrics que es corresponen com elements homòlegs. En el cas que el coeficient K és major que 1 estem parlant d'una figura més gran que l'original, en el cas que K sigui menor que 1 estarem parlant d'uan figura resultant menor que l'original. Si K és igual a 1 estem parlant d'una figura d'origen i una resultant iguals.
Dos triangles són semblants quan tenen dos angles iguals i quan tenen dos costats proporcionals i l'angle compres entre ells també igual.
Dos polígons son semblants, tenint el mateix nombre de costats quan estan formats pel mateix nombre de triangles en que es poden seccionar semblants, si tenen tots els angles consecutius menys dos o si tenen tots els costats proporcionals menys un.
23) Construcció de figures semblants per homotècia directe coneguen-ne la raó ( transformació isomòrfica ).- Volem construir una figura homotètica a la dona amb una raó K de 2 / 1. Comencem per perllongar la base AB a la qual i afegim el valor n. Tracem línies rectes des de A que passin per C D i E i, tot seguit des de B' comencem a traçar una paral.lela a BC fins que intersequi amb la línia AC per trobar C' i així procedim amb tots els costats consecutivament fins completar la figura A'B'C'D'E'F'.
24) Construcció de figures semblants per homotècia inversa coneguen-ne la raó ( transformació isomòrfica ).- Tenim la figura ABCDE i la raó d'homotècia inversa K de 3 / 5. Tot seguit definim un centre d'homotècia arbitrari O el qual unim per mitja d'una recta a A. Dividim en 5 parts AO i tot agafant-ne tres les transportem a la perllongació d'AO per trobar el primer punt homòleg A'. A continuació des de tots els punts B, C, D i E tracem rectes que passin per O i, a partir d'A' comencem a traçar paral.leles, en aquest cas a, AE per trobar E' i així, consecutivament, fins completar la figura A'B'C'D'E'.
25) Construcció de figures semblants per mitjà d'una quadrícula coneguen-ne la raó ( transformació isomòrfica ).- Una quadricula és un bon mètode de transport i transformació d'imatges, un mètode molt emprat a l'antic Egipte. En aquest cas hem establert una raó de 1 / 2.
26) Producte d'homotècies ( transformació isomòrfica ).- Una
27) Centres d'homotècia entre tres circumferències ( transformació isomòrfica ).- Una
Webs relacionades
http://www.xtec.cat/~jbartoli/geometria/trans.htm
http://books.google.es/books?id=aUvO4wrIXSMC&pg=PA125&lpg=PA125&dq=transformacions+geom%C3%A8triques&source=bl&ots=
http://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080909151541AAJ5JAt
http://ancoraaudiovisual.com/product_info.php?products_id=721&osCsid=f41289482448bd2ccecd943bb653c5a4
http://www.enciclopedia.cat/fitxa_v2.jsp?NDCHEC=0111805