Anomenem
transformació geomètrica
en general a una operació que en permet obtenir una
figura, tot partint d'una altra donada. Una transformació
geomètrica estableix un seguit de relacions de correspondència
entre els elements de les figures tan la figura
d'origen com la figura
resultant. Les transformacions geomètriques
reben el nom de moviments geomètrics
quan les figures d'origen i resultat conserven mesura i forma.
En les transformacions geomètriques es pot donar el
cas de que alguns elements d'aquestes no es transformen o
esdevenen ells mateixos, aquests elements s'anomenen elements
dobles o elements invariants.
El concepte de transformació en geometria troba el
seu equivalent matemàtic en el concepte de funció
algebraica. Anomenem homografia
a la correspondència de dues formes geomètriques,
on a un element d'una forma li correspon un element d'un mateix
tipus de l'altra, per exemple a un punt li correspon un punt
a una recta una recta i, sempre segons unes lleis de relació
determinades.
|
Trasformacions
geomètriques en el plànol
|
Trasformacions
isomètriques
|
gir
o rotació,
igualtat, translació i simetria
|
|
Transformacions
isomòrfiques
|
homotècia
i semblança
|
|
Trasformacions
anamòrfiques
|
equivalència
|
Podem
classificar les transformacions geomètriques
segons les característiques mètriques i formals
de la figura resultant respecte de la d'origen. En el plànol
parlarem de:
Transformacions isomètriques,
les quals es caracteritzen per conservar magnituds i angles
de la figura d'orígen o inicial. Aquestes transformacions
isomètriques són el gir
o rotació, la igualtat,
la translació i
la simetria.
Transformacions isomòrfiques,
les quals es caracteritzen per per mantenir la forma de la
figura d'origen, els angles iguals i les magnituds proporcionals.
Aquestes transformacions isomòrfiques són l'homotècia
i la semblança.
Per últim, tenim els transformacions
anamòrfiques, aquest cas es caracteritza
pel fet que la figura transformada és diferent respecte
de la figura d'origen. Com exemple d'aquest tipus de transformació
geomètrica tenim la equivalència.
|
|
|
|
1)
Igualtat i identitat entre figures.- Figures
iguals; diem que dues figures són iguals,
quan els seus costats i els seus angles son iguals i, també,
estan situats els seus elements amb el mateix ordre. Figures
idèntiques; en canvi, diem que dues figures
són idèntiques quan és poden sobreposar
tots els seus elements i aquests esdevenen dobles. De totes
maneres aquestes dues classificacions poden ser en certa forma
sinònimes, si tenim en compte que ambdues amb un sol
moviment 2D o 3D podem aconseguir superposar els seus elements
i convertir-los amb dobles. Si reduïm les operacions de
superposició només al plànol ( 2D ), aleshores
haurem de dir que totes les figures que són idèntiques
també són iguals, però, no totes les figures
iguals són idèntiques. Les nostres mans, per exemple,
poden ses superposades per mitja d'una rotació 3D però,
ens serà impossibles del tot superposar-les si les mantenim
a les dues en un mateix plànol per molt que girem. Quiralitat
(del grec kheir: mà) és una propietat d'asimetria
important en diverses branques de la ciència. Un objecte
o un sistema és quiral si no pot ser superposat a la
seva imatge especular.
|
|
|
|
2)
Construcció de figures planes iguals per radiació
( transformació isomètrica ).- Partim
d'un punt arbitrari interior O de la figura donada ABCDE
el qual unim amb tots els vèrtexs interiors de la figura.
A continuació tracem un circumferència de radi
arbitrari que ens tallarà els segments recentment traçats
en els punts 1, 2, 3, 4, 5. Tot seguit situem el punt
O' a partir del qual traçarem la mateixa circumferència
que havíem traçat des de O. Ara serà
el moment de traçar rectes des de O' paral.leles
a les que havíem traçat anteriorment des de O.
Tot seguit transportem les mesures OA,
OB, etc... tot situant-les
a partir de O' per trobar consecutivament els punts A,
B, C,
D, E, els quals
completaran la construcció de la figura igual a la d'orígen.
|
|
|
|
3)
Construcció de figures planes iguals per triangulació
( transformació isomètrica ).-
Des del vèrtex B
em traçat un feix de segments BD,
BE,
BF i BG per
tal de triangular la figura. A continuació des de B
hem traçat una paral.lela a BC
i hem concretat la mesura del segment BC.
A partir d'aquí hem anat aplicant l'exercici de la construcció
d'un triangle coneguts els seus costats, com podeu veure
des de C amb radi CD
i des de B amb radi BD
hem pogut trobar el punt D per
creuament d'arcs. Així procedirem consecutivament
amb tots els triangles fins trobar ABCDEFG.
|
|
|
|
4)
Construcció de figures planes iguals per mitjà
de perpendiculars ( transformació isomètrica ).-
Tracem una recta,
a partir de la qual aixequem perpendiculars fins els punts ABCDEFG
de la figura donada. A continuació, dupliquem els valors
mètrics dels segments 1234567 definits sobre la
recta. Des de
1234567, aixequem
perpendiculars amb els valors mètrics 1A,
1B,
1C,
etc...la qual cosa ens permetrà trobar els punts ABCDEFG
de la figura igual a la d'orígen.
|
|
|
|
5)
Construcció de figures planes iguals per mitjà
del transport d'angles ( transformació isomètrica
).- Comencem per traçar una recta
paral.lela a BC la qual
és BC. A continuació
transportem els angles extrems del segment 2
i 3. A partir de C
sobre el nou costat trobat transportem el valor mètric
CD. Transportem sobre D
l'angle 4, trobarem un nou
costat de l'angle sobre el que assenyalarem el valor mètric
DE. I així successivament
fins completar ABCDEFG.
|
|
|
|
6)
Transformació geomètrica per translació
d'una figura ( transformació isomètrica ).- Hem
de definit la translació com un moviment rectilini amb
un sentit determinat, on cada un dels punts de la figura d'origen
es desplaça una mateixa mesura concreta. AA,
BB, etc... són totes,
mesures iguals. La translació pot ser considerada també
com una homotècia de centre impropi.
|
|
|
|
7)
Els dos tipus de simetries bàsiques ( transformació
isomètrica ).- La paraula simetria
ve del grec, Plató va vincular symmetros
a les simetries de les anomenades figures platòniques,
segons ell la simetria guarda el secret de la matèria
i també explica l'origen de l'amor. Symmetros
vol dir syn ( igual ) i
metros ( mesura ). Les mateixes
mesures del significat de la paraula simetria queden definides
respecte de dos elements geomètrics bàsics, el
punt en la simetria central i la recta en la simetria axial.
En la simetria central, parlem de centre de simetria i en la
simetria axial parlem d'eix de simetria.
|
|
|
|
8)
Transformació geomètrica per simetria central
d'una figura ( transformació isomètrica ).- En
aquest cas els punts homòlegs, AA',
BB'
... tenen el mateix allunyament
mètric respecte d'O,
que és el centre de simetria. En aquesta simetria com
podeu veure per reconvertir la figura resultant amb la figura
d'origen o el que és el mateix si les volguéssim
superposar ens veuríem obligats a fer dos moviments geomètrics
una translació sobre el vector D'D,
per exemple i una rotació de 180º sobre D.
|
|
|
|
9)
Transformació geomètrica per simetria axial d'una
figura ( transformació isomètrica ).- En
aquest cas els punts homòlegs, AA',
BB'
... tenen el mateix allunyament
mètric respecte de l'eix de simetria.
En aquesta simetria com podeu veure per reconvertir la figura
resultant amb la figura d'origen o el que és el mateix
si les volguéssim superposar ens veuriem obligats a fer
dos moviments geomètrics una translació sobre
el vector C'D,
per exemple i una rotació de 180º sobre D,
els punts no coincidirien per tant estaríem davant d'una
igualtat i no d'una identitat de figures, per altra banda, si
fem una rotació 3D, un abatiment de 180º sobre l'eix
de simetria, si que feriem coincidir les dues figures i llavors
es produiria una identitat ja que els punts homòlegs
coincidirien.
|
|
|
|
10)
Transformació geomètrica per gir o rotació
d'una figura ( transformació isomètrica ).- Aquesta
es una transformació geomètrica que ens permet
moure una figura al voltant d'un punt fix que anomenem centre
de rotació O.
El centre de rotació pot estar contingut a l'interior
de la figura, al contorn com és aquest cas o extern com
el cas que teniu en l'exercici següent. Cal tenir en compte
en aquesta transformació geomètrica a més
del centre de rotació, el sentit del gir
i el valor de l'angle de rotació. En una rotació
es conserven les magnituds de contorn de la figura i els angles,
en tot cas, només canvien d'orientació i posició.
|
|
|
|
11)
Transformació geomètrica per gir o rotació
d'una figura, coneixent-ne el centre i l'angle de gir ( transformació
isomètrica ).- Aquesta es una transformació
geomètrica que ens permet moure una figura al voltant
d'un punt fix que anomenem centre de
rotació O.
El centre de rotació en aquest cas és extern.
Cal tenir en compte en aquesta transformació geomètrica
a més del centre de rotació, el sentit
del gir i el valor de l'angle de rotació.
En una rotació es conserven les magnituds de contorn
de la figura i els angles, en tot cas, només canvien
d'orientació i posició. en aquest segon exercici
com podeu observar hem canviat el sentit de gir.
|
|
|
12)
Trobar el centre de rotació de dues figures homòlogues
producte d'una rotació. ( transformació isomètrica
).- Si ens donen dues figures homòlogues
producte d'una rotació i volem trobar el centre de rotació
només tenim que unir dos parells de punts homòlegs
per mitjà de segments, les mediatrius d'ambdós
ens donaran per intersecció en centre de rotació
que cercàvem.
12_B ) Rotació d'una recta ( transformació isomètrica
).- Per fer una rotació d'una recta
donada hem de traçar des del centre de rotació
O un perpendicular a aquesta
situar el valor de l'angle de rotació sobre la perpendicular
en el sentit desitjat. A continuació sobre el nou costat
de l'angle tracem el valor OM, el
qual ens permetrà trobar el punt homòleg
M'.
12_C ) Rotació d'una figura coneguen-ne el centre de
rotació i l'angle de rotació ( transformació
isomètrica ).- Per fer una rotació
d'una circumferència hem d'unir mitjançant un
segment el centre M de la
circumferència donada amb el centre de rotació
O . Una vegada fet això,
sobre MO i a partir del
centre de rotació, tracem l'angle com a valor de rotació
i en el sentit desitjat. Sobre el nou costat de l'angle nº
tracem el valor OM,
el qual ens permetrà trobar el
punt homòleg M' des
del qual traçarem, amb el mateix radi de la circumferència
de centre M la circumferència
que havíem de girar.
|
|
|
|
13)
La homotècia com a transformació geomètrica
( transformació isomòrfica ).- La
homotècia és una transformació geomètrica
isomòrfica en que cada punt A
li correspon un homòleg A'
i tots dos estan alineats (són col.lineals) amb un punt
fix O anomenat centre
d'homotècia i on sempre queda determinada
la següent relació OA'
/ OA
= K = raó d'homotècia.
|
|
|
|
14)
Construcció de figures homotètiques coneguen el
centre i la raó d'homotècia ( transformació
isomòrfica ).- Tenim una figura
ABC, una raó d'homotècia
de K = 5 / 4 i el centre
d'homotècia O.
En
primer lloc unim per mitjà d'una recta, el centre d'homotècia
O amb el punt C
de la figura i, dividim aquest segment en quatre
parts per, a continuació, sobre la perllongació
del segment OC afegir una
subdivisió 1 / 4
d'OC, la qual ens determinarà
el punt C'.
Tot seguit primer tracem rectes des del punt O
que passin per B i per C,
a continuació des del punt C'
tracem paral.leles als segments CA
i CB les quals en intersecar
les línies traçades des del centre d'homotècia
O ens permetran definir
els punts A' i B'
que en mancaven per definir la figura resultant.
|
|
|
|
15)
Construcció de figures homotètiques coneguent
el centre i dos punts homotètics ( transformació
isomòrfica ).- Coneixem per afrontar
el problema i com a plantejament els elements dibuixats en groc.
Procedirem, en part, com en el cas anterior, traçant
línies des del centre d'homotècia O
que passin pels punts C,
D i A.
Tot seguit, des de B' tracem
paral.leles consecutivament als segments BC
i BA per
anar trobant els punts C',
A' i, finalment, D'.
|
|
|
|
16)
Definició de l'homotècia coneguen dues figures
homotètiques ( transformació isomòrfica
).- Si el que tenim son dues figures homotètiques
només ens faltarà per definir la homotècia
i el seu coeficient i raó d'homotècia K.
Una vegada definit el centre d'homotècia
O immediatament
ja podrem establir la relació OA' / OA = K, tot
i que amb la relació C'B' / CB = K ja tindríem
establerta la raó homotètica entre les dues figures,
trobar el centre d'homotècia, de fet, confirmaria el
tipus de transformació que relaciona aquestes dues figures.
|
|
|
|
17)
Tipus d'homotècies; homotècia directe ( transformació
isomòrfica ).- Quan els punts homòlegs
de la figura d'origen i la resultant es troben en el mateix
costat respecte del centre d'homotècia hem de parlar
de homotècia directe o homotècia positiva. Podem
determinar tres tipus de raons homotètiques positives
, una quan aquesta es major que la unitat, dos quan
és igual a la unitat i, per acabar, quan és
menor que la unitat.
|
|
|
|
18)
Tipus d'homotècies; homotècia inversa ( transformació
isomòrfica ).- Quan els punts homòlegs
de la figura d'origen i la resultant es troben en costats diferents
respecte del centre d'homotècia hem de parlar de homotècia
inversa o homotècia negativa. Podem determinar tres tipus
de raons homotètiques negatives , una quan aquesta
es major que - 1, dos quan és igual a - 1
i, per acabar, quan és menor que - 1 .
|
|
|
|
19)
Centres d'homotècia directe i d'homotècia inversa
( transformació isomòrfica ).- Com
havíem dit, els centre d'homotècia
directe es troben a un costat respecte dels punts homòlegs
de les figures d'origen i les resultants, mentre que en l'homotècia
negativa el centre d'homotècia
té els punts homòlegs a banda i banda.
|
|
|
|
20)
Centre d'homotècia directe de dues circumferències
1 ( transformació isomòrfica ).- L'homotècia
entre dues circumferències ens permet resoldre en aquest
cas un problema de tangències com podeu veure en les
figures. Observeu que OA i OA' són paral.leles
i que per AA' i passa una recta
que en intersecar la recta definida pels centres ens permet
trobar O, el centre d'homotècia
positiva, en aquest cas. A la imatge inferior podeu veure la
tangent comú a les dues circumferències , cal
també veure que els radis OT i OT' són
també paral.lels.
|
|
|
|
21)
Centre d'homotècia inversa de dues circumferències
1 ( transformació isomòrfica ).- El
mateix cas que l'anterior però de raó d'homotècia
inversa.
|
|
|
|
22)
Característiques i definició de semblança
( transformació isomòrfica ).- Dues
figures poden ser definides com a semblants quan tenen els angles
iguals i els costats proporcionals, també anomenem els
elements geomètrics que es corresponen com elements homòlegs.
En el cas que el coeficient K és major que 1 estem parlant
d'una figura més gran que l'original, en el cas que K
sigui menor que 1 estarem parlant d'uan figura resultant menor
que l'original. Si K és igual a 1 estem parlant d'una
figura d'origen i una resultant iguals.
Dos triangles són semblants quan tenen dos angles iguals
i quan tenen dos costats proporcionals i l'angle compres entre
ells també igual.
Dos polígons son semblants, tenint el mateix nombre de
costats quan estan formats pel mateix nombre de triangles en
que es poden seccionar semblants, si tenen tots els angles consecutius
menys dos o si tenen tots els costats proporcionals menys un.
|
|
|
|
23)
Construcció de figures semblants per homotècia
directe coneguen-ne la raó ( transformació isomòrfica
).- Volem construir una figura homotètica
a la dona amb una raó K de 2 / 1. Comencem
per perllongar la base AB
a la qual i afegim el valor n.
Tracem línies rectes des de A
que passin per C D
i E i, tot seguit des de
B' comencem a traçar
una paral.lela a BC fins
que intersequi amb la línia
AC per trobar C'
i així procedim amb tots els costats consecutivament
fins completar la figura A'B'C'D'E'F'.
|
|
|
|
24)
Construcció de figures semblants per homotècia
inversa coneguen-ne la raó ( transformació isomòrfica
).- Tenim la figura ABCDE i la raó
d'homotècia inversa K
de 3 / 5. Tot seguit definim
un centre d'homotècia arbitrari O
el qual unim per mitja d'una recta a A.
Dividim en 5 parts AO
i tot agafant-ne tres les transportem a la perllongació
d'AO
per trobar el primer punt homòleg
A'. A continuació des de tots els punts
B, C, D i E
tracem rectes que passin per O
i, a partir d'A' comencem
a traçar paral.leles, en aquest cas a, AE
per trobar E'
i així, consecutivament, fins completar la figura A'B'C'D'E'.
|
|
|
|
25)
Construcció de figures semblants per mitjà d'una
quadrícula coneguen-ne la raó ( transformació
isomòrfica ).- Una quadricula és
un bon mètode de transport i transformació d'imatges,
un mètode molt emprat a l'antic Egipte. En aquest cas
hem establert una raó de 1
/ 2.
|
|
|
|
26)
Producte d'homotècies ( transformació isomòrfica
).- Una
|
|
|
|
27)
Centres d'homotècia entre tres circumferències
( transformació isomòrfica ).- Una
|
|
|
|
Webs
relacionades
|
