Qualsevol
trasformació geomètrica pressuposa correspondència
entre elements d'un conjunt gràfic,
ja siguin punts, rectes, plànols o figures. Anomenem
elements dobles o també
invariants a aquells elements geomètrics als quals
en aplicar-los una trasformació esdevenen ells mateixos
i mantenen el mateix lloc geomètric.
 
Quan parlem de transformacions projectives
estem parlant de projeccions a les quals hem incorporat el concepte
d'infinit i, per tant podem parlar d'elements impropis. Anomanem
punt impropi al punt de l'infinit
de la direcció d'una recta la qual cosa en permet afirmar
que totes les rectes paral.leles tenen aquest mateix punt impropi.
Anomenem recta impròpia
o recta de l'infinit de l'orientació d'un plànol,
així també, tots els plànols parel.lels
tenen tenen en comú la mateixa recta impròpia.
Anomenem pla impropi o de l'infinit
al conjunt de punts i rectes impropis.
|
|
|
|
1)
Conceptes de projectivitat i homografia .- La
projectivitat es el fet que permet que una figura sigui derivable
en una altra per projecció. Parlem i definim la projecció
en base a un conjunt d'elements que la defienixen. En una projecció
tenim un centre de projecció propi
o impropi , un cos projectant,
un raig projectant o recta de projecció
i un plànol de projecció.
Per altra banda anomenem homografia
a la correspondencia projectiva entre elements geomètrics,
un punt amb un altre punt, una recta en una altra recta i, en
definitiva, una figura geomètrica a una altra figura
geomètrica.
|
|
|
|
2)
Transformacions anamòrfiques.- La
homologia, la afinitat
i la homotècia són
transformacions geomètriques homogràfiques generades
a traves de projeccions i/o seccions. La homologia
es caracteritza per tenir una recta doble, en la qual, hi ha
un conjunt d'elements geomètrics que coincideixen amb
ells mateixos. L'homologia pot ésser definida en el pla
o en espai. Quan dues figures són homològiques
compleixen les següents condicions:
1.- Dos punts homòlegs M
i M' en una projecció, sempre estan alineats amb un tercer
punt fix que reb el nom de centre d'homologia.
Dues rectes homòlogues, es tallen sempre en una recta
que anomenem eix d'homologia. Per
altra bande, per resoldre un problema d'homologia ens cal el
centre d'homologia, l'eix d'homologia i un parell de punts homòlegs
M i M'.
|
|
|
|
3)
Obtenció d'un triangle homòleg i definició
del coeficient d'homologia.- Tenim
|
|
|
|
4)
Les rectes límit com elements de les homologies.- Les
rectes límit són
el lloc geomètric dels punts homòlegs dels de
l'infinit del plànol determinat per l'altra figura
|
|
|
|
5)
Definició i enumeració de les propietats de les
rectes límit.- La distància
d'una recta límit al centre d'homologia, és la
mateixa que hi ha de l'eix
d'homologia a la
recta límit. Les rectes límit poden estar entre
el centra d'homologia i l'eix d'homologia o fora d'ells.Totes
les rectes que es tallen en un punt qualsevol de la recta límit
tenen les seve homòlogues paral.leles a una direcció
determinada. Quan dues rectes determinades m i n
tallen en dos punts A i B la seva recta límit,
les seves homòlogues formen el mateix angle que el que
formen A i B amb el centre O.
|
|
|
|
6)
Formes de definir una homologia i obtenció d'una figura
homòloga .- Tenim
|
|
|
|
7)
Obtenció d'un figura homòloga conegudes quan conexem
l'eix, el centre i una recta límit.- Tenim
|
|
|
|
8)
Teorema de les tres homologies.- Tenim
|
|
|
|
9)
Transformació homològica d'un quadrilàter
en un quadrat.- Tenim
|
|
|
|
10)
Transformacions homològiques de la circumferència.
Circumferència en elipse.- Tenim
|
|
|
|
11)
Transformacions homològiques de la circumferència.
Circumferència en paràbola.- Tenim
|
|
|
|
12)
Transformacions homològiques de la circumferència.
Circumferència en hipèrbola.- Tenim
|
|
|
|
13)
Afinitat, definició i determinació d'aquesta.-
Tenim
|
|
|
|
14)
Trasformació d'un paral.lelógram en un quadrat.-
Tenim
|
|
|
|
15)
Transformació d'una circumferència en el.lipse
pel mètode afí.- Tenim
|
|
|
|
16)
Conversió de circumferència en el.lipse que tenen
el diàmetre comú.- Tenim
|
|
|
|
17)
Altres cassos d'homologia. L'homotècia.- Tenim
|
|
|
|
18)
Trasformacions de circumferències per mètodes
homotètics.- Tenim
|
|
|
|
Webs
relacionades
|
|
|
