Elements
dels quadrilàters.-
Els quadrilàters són figures planes, tancades
definides per quatre costats com indica l'arrel del seu nom,
per quatre vèrtex en la intersecció dels costats
i per dues diagonals que són les rectes que uneixen
interiorment dos vèrtex no consecutius. Els quadrilàters
tenen les següents propietats:
1 ) Els angles interiors
sumen sempre 360º, aquesta propietat és fàcilment
deduïble si tenim en compte que traçant una diagonal
del quadrilàter dividirem aquest en dos triangle i,
sabem, que els angles interiors d'un triangle sumen sempre
180º, per tant, dos triangle sumaran 180º + 180º
= 360º.
2
)
En un guadrilàter quan la suma dels seus costats oposats
coincideix en valor mètric, es possible inscriure una
circumferència en l'esmentat quadrilàter, el
qual rep el nom de guadrilàter tangencial
AB + CD = AD + BC( AB
+ CD + AD
+ BC ) / 2.
Per
altra banda per inscriure una circumferència en un
quadrilàter tangencial, només cal traçar
les bisectrius dels angles interiors del quadrilàter
per trobar el centre de la circumferència inscrita
com podeu veure a la figura inferior.
3
) Quan els angles oposats d'un quadrilàter
son suplementaris, aquests quadrilàters són
susceptibles de ser inscrits en una cicumferència,
aquest tipus de quadrilàters reben el nom de quadrilàters
cíclics o inscribibles
i tots ells compleixen el teorema de Ptolomeu: El teorema
de Ptolemeu estableix que, per qualsevol quadrilàter
cíclic, la suma dels productes de les longituds
de dos parells de costats oposats és igual al producte
de les longituds de les dues diagonals. Aquest teorema
rep el seu nom en honor a l'astrònom i matemàtic
grec Claudi Ptolemeu i s'inscriu dins la geometria euclidiana.
AB x DC +
AD x BC = AC x BD
4
) En un quadrilàter qualsevol si trobem
els punts mitjos dels seus costats, aquests definiran sempre
un paral.lelogram. En els dibuixos inferiors en podeu veure
dos exemples del que estem dient.
Els quadrilàters
són polígons de quatre costats, esl quals podem
classificar com a:
Quadrilàters.- És
el nom genèric dels polígons de quatre costats,
de fet englobaria tots els tipus definits a continuació.
Paral.lelograms.- Són
tots aquells polígons de quatre costats que tenen els
costats oposats, paral.lels dos a dos. El concepte de paral.lelogram
englobaria tant el rectangle com el quadrat com aquells polígons
de quatre costats paral.lels dos a dos amb els seus angles
interiors
Rectangle.- Polígons
de quatre costats que tenen els costats oposats, paral.lels
dos a dos i tots els seus angles interiors són rectes.
Quadrat.- Polígons de
quatre costats que tenen un parell de costats oposats paral.lels.
Trapezis.- Són aquells
quadrilàters que tenen dos costats paral.lels. Podem
parlar de tres tipus de trapezis, el trapezi rectangle (té
un angle interior recte), el trapezi isòsceles (angles
interiors iguals dos a dos)i el trapezi escalè (cap
angle interior igual).
Trapezoides.- És un polígon
de quatre costats, cap dels quals és paral.lel a cap
altre.
Rombes.- És un polígon
de quatre costats iguals però, els angles interiors
dels quals no són rectes, en te dos d'obtusos i dos
d'aguts.
Romboides.- Són polígons
de quatre costats iguals dos a dos (cada costat és
igual a l'oposat), els angles interiors dels quals no són
rectes, en te dos d'obtusos i dos d'aguts.
Deltoide.- És un polígon
de quatre costats simètric que té dos angles
interiors rectes, un d'agut i un d'obtús, aquests dos
últims suplementaris (sumen 180º).
|
Classificació
gràfica dels quadrilàters
|
|
PARAL.LELÒGRAMS
|
QUADRAT
|
|
|
RECTÀNGLE
|
|
|
PARAL.LELÒGRAM
|
|
|
TRAPEZIS
|
TRAPEZI
RECTANGLE
|
|
|
TRAPEZI
ISÒSCELS
|
|
|
TRAPEZI
ESCALÉ
|
|
|
TRAPEZOIDES
|
|
|
ROMBE
|
|
|
ROMBOIDE
|
|
|
DELTOIDE
|
|
|
|
|
|
1)
Construcció del quadrat donada la diagonal.-
Situada la diagonal donada en posició horitzontal trobem
el seu punt mig tot traçant la mediatriu. Prenent el
punt mig com a centre i amb radi 1/2 d'AB tracem una circumferència.
Quan aquesta interseca la mediatriu abans traçada trobem
els altres dos punts que ens faltaven per construir el quadrat.
|
|
|
|
2)
Construcció amb compàs d'un quadrat coneixent-ne
el costat.-
Posicionem horitzontalment el segment representatiu del costat
i en un dels seus extrems apliquem un exercici d'aixecar una
perpendicular en el extrem d'un segment utilitzant un arc arbitrari
consecutivament com podeu veure a l'esquerra de la figura amb
els arcs (1,2,3,4). Fent centre en A i amb radi AB tracem un
arc que en intersecar sobre la línia definida per A4
ens donarà el punt D. Des de B i des de D tracem arc
de radi AB, els quals en intersecar-se ens donaran el punt C,
el qual completarà la definició gràfica
del quadrat.
|
|
|
|
3)
Construcció d'un paral·lelogram coneixent-ne la
suma dels costats i la diagonal.-
Posicionem horitzontalment el segment representatiu de la suma
d'AB+BC. En el extrem C del segment tracem una recta convergent
a 45 graus, a continuació, amb centre en el punt A i
amb radi AC tracem un arc de circumferència que intersecarà
la convergent (a 45º) anteriorment traçada que ens
donarà el punt C del paral·lelogram. A continuació
des de C tracem una perpendicular a AB+BC per trobar el punt
B, tot seguit a partir de C tracem un arc de circumferència
amb radi AB i des de A amb radi BC: La intersecció dels
dos arcs ens donarà l'últim punt, el punt D de
la figura.
|
|
|
4)
Construcció d'un paral·lelogram coneixent-ne un
costat, el menor (AD) en aquest cas i la diagonal (AC).-
Situem AC horitzontalment on volem realitzar l'exercici. Des
del punt 1/2 d'AC, tracem una circumferència de radi
1/2AC. A continuació, a partir del punt A i amb radi
AD tracem un arc de circumferència, el qual, en intersecar
la circumferència ens donarà un punt, el punt
D, el qual ajuntarem amb C . Traçant des d'A i des de
C paral·leles als anteriors costats trobarem el paral·lelogram
que cercàvem. Aquest exercici coincideix amb la demostració
de l'arc capaç que es feia a les escoles de matemàtiques
del Rajasthan on destacava el gran matemàtic indi Brahmagupta.
|
|
|
|
5)
Construcció amb compàs d'un rectangle coneixent-ne
el costat menor (AD) i el costat major (AB).-
Sobre l'extrem A del costat major apliquem l'exercici d'aixecar
una perpendicular en el extrem d'un segment amb arcs consecutius
(1,2,3,4). Sobre la recta definida per A4 marquem AD per trobar
el punt D. Des de D amb radi AB i des de B amb radi AD tracem
dos arcs que en intersecar-se ens permetran trobar el punt C
amb el qual acabarem de definir el paral·lelogram rectangle.
|
|
|
|
6)
Construcció d'un romboide coneixent-ne el costat major,
el menor i un dels seus angles.-
Sobre el costat AB situem l'angle donat. Consecutivament sobre
el costat M de l'angle tracem el costat menor AD. Des de D amb
radi AB tracem un arc que intersectarà amb l'arc traçat
des de B amb radi AD. Aquest últim punt C, completarà
el romboide demanat.
|
|
|
|
7)
Construcció d'un romboide coneixent-ne el costat major,
el costat menor i l'alçada.-
Sobre l'extrem B del costat major AB situem l'alçada
del romboide donada. Tot seguit des de A i amb radi CD, el costat
menor, tracem un arc que en intersecar la paral·lela
a distància h d'AB ens donarà el punt D. Des de
D i sobre la paral·lela a AB tracem de nou AB, per trobar
C. Per acabar, des de B tracem una paral·lela a AD i
trobarem BC.
|
|
|
|
8)
Construcció
d'un romboide coneixent-ne el costat major, el costat menor
i la diagonal.- Des de l'extrem A del costat AB, tracem
amb radi AD (el costat menor) un arc de circumferència.
Des de l'extrem B d'AB, tracem un arc de circumferència
amb radi BD (la diagonal donada). La intersecció d'aquests
dos arcs en permetrà trobar el punt D del romboide. Des
de D, traçarem un arc amb radi AB i des de B. traçarem
un arc amb radi AD, la intersecció dels dos arcs ens
permetrà trobar el punt C per tancar la figura, el romboide
que cercàvem.
|
|
|
|
9)
Construcció d'un romboide coneixent-ne la diagonal i
un dels seus angles.- Tracem
la bisectriu de l'angle donat, sobre la qual marquem el valor
AC. Des de C tracem una paral·lela al costat m de l'angle
donat, la intersecció d'aquesta paral·lela amb
el costat n de l'angle ens donarà el punt D i posteriorment
traçant des de C una paral·lela al costat n de
l'angle donat sobre m trobarem el punt B que ens completarà
el romboide.
|
|
|
|
10)
Construcció
d'un rombe coneixent-ne el costat i una diagonal.- Des
dels extrems de la diagonal A i C tracem arcs a dalt i a sota
d'aquesta, les interseccions d'aquests arcs ens donaran els
punts B i D, els quals ens permetran completar el traçat
del rombe.
|
|
|
|
11)
Construcció
d'un trapezi escalè coneixent-ne el seus costats.- Des
de l'extrem A del costat AB tracem un arc com el de la figura
que intersecarà aquest mateix costat en el punt D' ,
des D' amb el mateix valor de radi AD tracem un nou arc. A continuació
des de B amb radi BC tracem un arc que intersecarà que
havíem fet anteriorment per donar-nos el punt C del trapezi
escalè. Tot seguit i des de C tracem un arc amb radi
CD que intersecarà el primer arc que havíem traçat
en el punt D, el qual completarà el trapezi escalè
que cercàvem.
|
|
|
|
12)
Construcció
d'un trapezi escalè coneixent-ne les bases superior i
inferior i les diagonals.- Tracem consecutivament
i colinealment els costats AB i DC, des de C' amb radi BD tracem
un arc. A continuació tracem un arc des d'A amb el radi
de l'altra diagonal AC, el qual en intersecar l'arc anteriorment
traçat ens donara el punt C. Posteriorment des de C tracem
un arc amb radi CD i des de B tracem un arc amb el radi de la
diagonal BD. La intersecció d'aquests darrers dos arcs
ens donarà el punt D que en permetrà completar
el trapezi escalè que cercàvem.
|
|
|
|
13)
Construcció
d'un quadrat coneguda la suma del costat i la diagonal.- Tracem
en la zona on anem a executar el problema el segment CD,
tot seguit tracem en un dels extrems del segment una perpendicular
i, des de l'altre extrem tracem una recta a 22º
30' , quan aquesta intersecti la perpendicular trobarem
el punt D. A continuació
des de l'extrem A tracem
un arc amb radi AD que ens
permetrà trobar el punt B.
Per trobar el punt C es
pot fer d'un bon feix de maneres que vosaltres mateixos trobareu
la mes convenient. ABCD
es el quadrat que cercàvem.
|
|
|
|
14)
Construcció
d'un quadrat coneguda la resta del costat i la diagonal.- Tenim
el segment d-c, el qual posem a la zona on anem a realitzar
l'exercici. En un dels seus extrems, el dret en aquest cas,
aixequem una perpendicular i, a l'altra, tracem una recta concurrent
a 67'5º, la qual en intersecar la perpendicular ens donarà
el punt D i per tant ja coneixerem el costat AD. A partir del
costat ja podeu traçar el quadrat
|
|
|
|
19)
Tauleta d'argila babilònica.- Aquesta
tauleta d'argila ens pot servir d'exemple de la importància
de les figures elementals des de temps remots per a la humanitat,
la qual data aproximadament del 1700 aC i representa un quadrat
amb les seves diagonals. Hi ha documentats atuells decorats
amb quadrats de 6000 anys abans de Crist a Mesopotàmia.
Aquestes tauletes demostren coneixements sobre les simetries
i les rotacions del quadrat cap al segle XVIII aC.
|
Traça pel teu compte tots els exercicis anteriors.
Perquè en l'exercici 3 tracem un angle de 45 º i
no cap altre. Raona el perquè.
Si en l'exercici número 4 et donessin el costat major
per compte del menor, variaria el procediment de resolució
del problema. Comprova-ho gràficament.
|
Traça pel teu compte tots els exercicis anteriors.
|
|
Webs
relacionades
|
|
|
