© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar. Amb la col.laboració de Maria Romero Pérez
Curs de dibuix i expressió gràfico-visual
Tema
Fitxa
L'EL.LIPSE
20_1
ELEMENTS, PROPIETATS I DEFINICIONS

L'el·lipse és una corba cònica simple, tancada i bisimètrica respecte dels seus diàmetres major i menor, derivada d'una secció produïda per un un tall d'un plànol oblic a l'eix d'un conus. A diferència de l'oval, per exemple, que pot ser traçat amb el compàs, l'el·lipse, és una corba matemàtica, gràficament s'ha de construir punt a punt i té, per tant, una major dificultat en el traçat tant si ho fem a ma o amb una plantilla de corbes. Els segments que uneixen un punt qualsevol de la el.lipse amb els dos focus s'anomenen radis vectors. La el.lipse té la propietat que la suma de les distàncies dels radis vectors FC i F'C, és una costant. L'el.lipse del jardiner en seria un exemple magnific d'aquesta constant. De fet podem definir l'el.lipse com el lloc geomètric dels punts del plànol la suma de les distàncies dels quals a dos punts fixos anomenats focus, és constant. L'e.lipse te un eix major i un eix menor, anomenats també eix real (el major) i eix virtual. Els extrems de l'eix major o real els anomenem vèrtex de l'el.lipse. S'anomena circumferència principal d'una el.lipse a la circumferència traçada des del seu centre amb radi 1/2 eix major.
I anomenem circumferències focals a les traçades des de cada un dels focus utilitzant com a radi l'eix major o real.
1) Constants en les tangents a el.lipses.- Totes les el.lipses tenen una circumferència principal que hom pot traçar des del centre de la el.lipse amb valor de radi 1 / 2 de V1-V2. Les circumferències focals (traçades en blanc) com el seu nom indica han estat traçades des de cada un dels focus de l'el.lipse amb radi V1-V2
2) Construcció de l'el·lipse pel mètode del fil: Partim del diàmetre major de l'el·lipse, els extrems del qual són els vèrtex de la corba A, B (així s'anomenen). Tenim els focus F i F' , els quals estan del vèrtex a una mateixa distància igual (AF = F'B). Quan els dos focus estan a la meitat d'aquest diàmetre major la corba esdevé una circumferència. La suma dels dos radis vectors ( FM + MF' ) en una el·lipse determinada tenen sempre una magnitud constant.
Per traçar la corba procedirem de la següent manera: en primer lloc traçarem un conjunt de punts arbitraris però ordenats a una mateixa distància aproximadament, 1,2,3,4, etc., a continuació d'un dels focus en el nostre cas l'F. Cada un d'aquests punts ens generarà quatre punts de l'el·lipse. Per començar prenem la mesura A1 i amb aquesta mesura col·locada sobre cada un dels dos focus fem arcs a dalt i baix (quatre en total), tot seguit agafem la mesura des de l'altra vèrtex fins el punt 1, o el que és el mateix, la mesura B1 i, des dels dos focus tallem amb quatre arcs a dalt i baix els quatre arcs que havíem fet anteriorment amb radi A1. Aquestes interseccions d'arcs ens donaran els primers quatre punts de l'el·lipse. Amb els punts 2, 3 i 4 procedirem de la mateixa manera fins que aconseguim el nombre de punts suficients per poder traçar la corba. Una vegada traçada la corba hem triat un dels punts per el qual volem traçar una tangent a la corba, en aquest cas el punt M. Des d'aquest punt hem traçat dos radis vectors, hem traçat la bisectriu de l'angle que formen i posteriorment traçant la perpendicular a la bisectriu en el punt d'intersecció a la corba, trobem la tangent corresponent.
3) Construcció de l'el.lipse per mitjà de circumferències concèntriques anomenat mètode d'afinitat: Comencem traçant dues circumferències concèntriques, les quals, segons les seves diferents mesures generaran el·lipses més o menys agudes. Una vegada escollides les dues concèntriques traçarem diàmetres a 30º l’un de l’altre. Una manera molt pràctica de fer-ho és una vegada traçats els eixos comuns de les dues circumferències concèntriques és, trisecant els dos quadrant superiors i perllongant aquestes línies de trisecció als quadrant inferiors (veieu la fitxa 3, exercici 7). Utilitzant tots i cada un dels radis que hem generat, procedim a traçar des dels punts d'intersecció d'aquest radis amb les dues circumferències concèntriques, consecutivament, rectes paral·leles als eixos; el diàmetre horitzontal i el diàmetre vertical. La intersecció d'aquest parell de paral·leles ens anirà generant punts de l'el·lipse.
4) El·lipse inscrita en un paral·lelogram: Per traçar una el·lipse en un paral·lelogram procedim, traçant l'esmentat paral·lelogram. A continuació, dividim els seus costats dret i esquerre en tantes parts iguals (en nombre de parts parell), a més parts més precisió de l'el·lipse perquè podrem generar més punts. Hem de dividir, també, el diàmetre AB de la figura amb la mateixa quantitat de parts que ho hem fet amb els costats laterals del paral·lelogram.. Procedirem a generar els punt quadrant a quadrant, traçant línies des de D a cada una de les subdivisions laterals del paral·lelogram i des de C fem passar línies per les subdivisions d'AB. La intersecció d'aquests dos feixos de línies ens donaran els punts que ens permetran traçar l'el·lipse.
5) Construcció de l'el·lipse pel mètode de la targeta: Si coneixem els eixos d'una el·lipse, podem construir aquesta per mitjà d'una tira de paper, de tal manera que estigui dividida en dues parts una primera BO que és el valor del semidiàmetre major i, l'altra, OC, que és el valor del semidiàmetre menor. Si fem lliscar aquesta targeta sobre prolongacions dels eixos o els mateixos eixos com podeu veure en la figura superior, podreu anar assenyalant els punts de la el·lipse 1,2,3,n....etc.
6) Construcció de l'el·lipse pel mètode de les envoltants.- Si tenim l'eix major i els focus, podem traçar la circumferència principal de radi
O-V1 o O-V2. A continuació tràcem rectes a, des del focus i b des de la intersecció d'aquesta amb la circumferència principal, les quals seran perpendiculars entre si. El conjunt de traçats de parelles de líniesn d'aquest tipus ens donarà pe acumulació l'elipse que cercàvem.
7) Determinaciódel focus de la el.lipse coneguts els eixos.- Si coneixem l'eix major i un diàmetre de l'el.lipse,
8) Traçat d'una tangent en un punt donat d'una el.lipse.- Tracem per començar mitja circumferència principal, a continuació des de F1 teracem una recta que passi per M, tot seguit des de M amb radi M-F2 tracem un arc que intersecarà F1-M en el punt 1. a bisectriu de l'arc F2-1 és la tangent a l'el.lipse en el punt M.
9) Traçat d'una tangent en un punt donat M d'una el.lipse.- Amb rectes unim els focus F1 i F2 amb M. Si tracem la bisectriu de làngle que formen F1-M i m-F2, veurem que aquesta és perpendicular a la tangent, per tant traçant una tangent a l'esmentada bisectriu en el punt M trobarem la tangent que cercàvem.
10) Traçat de tangents a una direcció (sageta groga) d'una el.lipse.- En primer lloc tracem la circumferència focal (en verd) d'F1, des d'F2, a continuació tracem una perpendicular a la sageta groga que intersecarà la circumferència focal en el punt 1. Des del punt d'intersecció 1 tracem una recta fins F1 que en tallar la el.lipse ens donarà el primer punt de tangència t, podrem observar que la tangent t passa pel punt mig d'F2-1. La perllongació 1-F2 ens permet trobar sobre la circumferència focal el punt 2, el qual unit per mitjà d'una recta amb F1 ens permet trobar en la seva intersecció amb l'el.lipse el punt t' per on passarà la segona tangent a l'el.lipse paral.lela a la direcció donada.
11) Traçat de tangents des d'un punt exterior M d'una el.lipse.- En primer lloc tracem la circumferència focal F1, a continuació i des del punt M tracem una circumferència de radi M-F2, la qual ens talla en els punt 1 i 2 de la circumferència focal F1 de radi V1-V2.Les mediatrius dels segments F2-1 i F2-2 seran les tangents que cercàvem. Els punts de tangència els trobem en les interseccions d'F1-1 i F2-2 t en roig amb la el.lipse donada (en groc). A la figura inferior veiem els mateix dibuix ampliat.
12) Traçat de tangents des d'un punt exterior M d'una el.lipse.-
13) Traçat de la el.lipse, donats dos diàmetres conjugats.-
14) Traçat de la el.lipse inscrita en un paral.lelogram donat A,B,C,D.-
Dibuixa una el.lipse de circumferències concèntriques de radi 40 mil.límetres i 90 mil.límetres


Webs relacionades