| |
| 1)
Definició i línies de la circumferència.-
La circumferència és el lloc geomètric
dels punts del plànol que equidisten d'un mateix punt que és el
centre de la circumferència, tots aquest punts formen una simetria
radial d'infinits punts. Les línies notables de la circumferència
són les següents: el diametre representat pel segment AB (d) que és
la línia que ajunta dos punts oposats del perimetre tot passant pel centre,
el radi OE (r) la línia que va del centre a qualsevol dels punts del perímetre
de la circumferència, la recta secant (SC) aquella que talla la circumferència
en dos dels seus punts perimetrals, la tangent en un punt T (t) la linia que coincideix
amb un punt del perimetre de la circumferència, la corda CD (c) que és
la línia que uneix dos punts qualssevol del perimetre de la circumferència
sense passar pel centre, i la segeta (s) aquella línia que uneix un punt
del perímetre de la circumferència amb el punt mig d'una corda i
es perpendicular a aquesta. |
| |
| 2)
Posicions relatives de dues circumferències.-
Podem definir cinc tipus de posicions relatives entre circumferències:
les exteriors (centres O1 i O2), les quals no tenen
cap punt en comú; les tangents exteriors (centres
O3 i O4), les quals tenen un punt en comú; les tangents
interiors (centres O7 i O8), les quals tenen un punt en comu i una es interior
a l'altra; circumferències secants (centres O5 i
O6), aquelles que es tallen i tenen dos punts comuns; interiors
exentriques (centres O11 iO12) son aquelles circumferències que
no tenen cap punt en comú i que una d'elles està continguda en l'altra;
i circumferències concèntriques (centres O9
i O10), com diu la paraula son las que comparteixen el mateix centre i
unes son interiors a les altres. |
| |
3)
Angles notables de la circumferència.-
Els angles notables de la circumferència són: L' àngle
central (a), com per exemple, el de la figura (1). L'angle
inscrit (b) que teniu a la figura (2). L'angle
exterior (c) com el que teniu a la figura (3). L'angle semiinscrit
(d) de la figura (4). L'angle interior (e)
de la figura (5). L'angle circumscrit (f)
com el de l'exemple de la figura (6).
VALORS DELS ANGLES NOTABLES DE LA
CIRCUMFERÈNCIA
| 1 |
a
= AB / r . 180º / pi | 2 |
b
= x / pi | | 3 |
c
= w1 - w2 / 2 | 4 |
d
= d1 / 2 | | 5 |
e
= e1 + e2 / 2 | 6 |
f
= f2 - f1 / 2 | |
| |
| 4)
Arc capaç definició gràfica i teòrica.-
L'arc capaç és el lloc geomètric
dels punts del plànol des d'on un punt pot observar un segment sota un
angle determinat. Si volem observar, per exemple un segment AB com
els de la figura sota un angle determinat z, hem de fer el següent, dibuixem
sota el segment l'angle z donat. Tot seguit tracem la mediatriu de AB per, a continuació,
complementar a la part superior d'AB l'angle z que havíem traçat
amb l'angle 90º-z. Veurem que aquest darrer costat de l'angle 90º-z
ens tallara la mediatriu de tal manera que aquest punt O de la figura serà
el centre de l'arc de la circumferència, des dels punts de la qual podrem
observar el segment AB sota angles constants de valor z. Com podeu veure a la
part inferior de la figura la intersecció del costat que no és AB
de l'angle z determina un centre O1 des del qual podem traçar un arc de
circumferència, des dels punts del qual podrem observar el segment AB sota
un angle constant de 90º-z. |
| |
| 5)
Determinació gràfica d'un punt des d'on podem veure dos segments
sota dos angles determinats (nº i mº).-
De fet en aquest problema només es tracta de traçar dues vegades
l'arc capaç sobre els segments AB i BC donats. Al final la intersecció
dels dos arcs de circumferència en tallar-se ens donaran un únic
punt P que complirà les condicions
demanades : poder observar sota angles de nº i mº els segments AB i
BC consecutivament. |
| |
| 6)
Potencia d'un punt respecte d'una circumferència.-
L'establiment de de relacions entre punts i circumferències a fet possible
la resolució de problemes importants de geometria. S'anomena
potència d'un punt respecte d'una circumferència en un mateix plànol,
al producte dels segments determinats pel punt i els d'intersecció d'una
secant amb la circumferència. Aquesta realció de potència
entre un punt i una circumferència té tres cassos generals, en els
cassos de punts exteriors la potència dels punts respecte de la circumferència
és positiva, si els punts són interiors trobarem relacions de potència
negativa amb la circumferència i, en el cas dels mateixos punts de la circumferència
amb ella mateixa, la potència és nul·la. |
| |
| |
| 9)
Polaritat. Polar d'un punt respecte d'una circumferència.-
S'anomena polar d'un punt P ( pol) respecte d'una circumferència,
anomenada circumferència directriu, a l'eix radical de dues circumferències,
de la circumferència directriu i la definida pel diàmetre OP, tenint
en compte que O és el centre de la circumferència directriu. |
| |
| 10)
Descripció
gràfica de la polar coneguts el cercle i el punt
(primer cas: pol exterior).- Donats
el punt P anomenat pol i la circumferència directriu de centre O, procedim
en primer lloc a unir P i O. Des de P, tot seguit, tracem dues rectes secants
en AB i DC sobre la circumferència directriu. Perllongant BC i AD trobarem
A i traçant les diagonals del quadrilater format per ABCD trobarem E. La
recta que defineixen els punts AE és perpendicular a PO iés, per
altra banda, la polar de P respecte de la circumferència directriu. |
| |
| 11)
Descripció
gràfica de la polar coneguts el cercle i el punt (segon cas: pol interior).-
Donats el punt P anomenat pol i la circumferència
directriu, en primer lloc procedirem a traçar la línia que defineixen
OP. A continuació traçarem la seva perpendicular OA. Des d'A trobarem
B com a perllongació d'AP. Unim per mitjà d'una recta O amb B i
trobem el segment OB al qual en el punt B li tracem una perpendicular, la qual
intersecarà en C una paral·lela a OP traçada des del punt
A. Per acabar tracem una perpendicular a OP des de C. Aquesta perpendicular és
l'eix radical o polar de P respecte la circumferència directriu de centre
O. En un exercici on es donés el cas que el punt P es trobi sobre la
circumferència la línia polar seria tangent a la circumferència
directriu en el punt P. |
| |
| 12)
Determinació
del punt P (el pol) donada circumferència directriu i la recta polar (primer
cas: pol exterior).-
Si ens donen la circumferència directriu de centre O i la polar i se'ns
demana el pol P, hem de començar per unir el centre O amb els punts secants
de la polar amb la circumferència i tot seguit traçar perpendicular
a aquestes que no seran altra cosa que tangent en els punts A i B. La intersecció
d'aquestes dues rectes ens determinaria el punt P, el qual, com podeu veure, està
situat sobre la mediatriu d'AB i conté O. |
| |
| 13)
Determinació
del punt P (pol) donada la circumferència directriu i la recta polar
(segon
cas: pol interior).-
La primera operació que fem és traçar
una perpendicular des del centre O a la polar per trobar M, a continuació
traçant la mediatriu d' OM trobem el punt mig des del qual tracem la circumferència
de radi 1/2 d'MO que ens permet trobar els punts A i B. Unint aquests dos punts,
sobre MO trobarem el pol P que cercàvem. |
| |
| 14)
Circumferència
de radi donat r que passa per dos punts .- Nomes
tenim que traçar amb radi r , des de B i des de A els arcs corresponents
que ens permetran trobar el centre O de la circumferència que cercàvem.
|
| |
| 15)
Circumferència
que passa per tres punts no alineats.- Si
ens donen tres punts no alineats A, B i C només es trecta de traçar
dues mediatrius dels segements que determinen AB i BC. El punt on es troben les
dues mediatrius és el centre de la circumferència que passa per
a A, per Bi per C. |
Traça pel teu compte tots els exercicis anteriors.
Perquè en
l'exercici 3 tracem un angle de 45 º i no cap altre. Raona el perquè.
Si en l'exercici número 4 et donessin el costat major per compte del
menor, variaria el procediment de resolució del problema. Comprova-ho gràficament. |
