|
|
|
1)
Definició i línies de la circumferència.-
La circumferència és
el lloc geomètric dels punts del plànol que equidisten
d'un mateix punt que és el centre de la circumferència,
tots aquest punts formen una simetria radial d'infinits punts.
Les línies notables de la circumferència són
les següents: el diametre representat pel segment AB (d)
que és la línia que ajunta dos punts oposats del
perimetre tot passant pel centre, el radi OE (r) la línia
que va del centre a qualsevol dels punts del perímetre
de la circumferència, la recta secant (SC) aquella que
talla la circumferència en dos dels seus punts perimetrals,
la tangent en un punt T (t) la linia que coincideix amb un punt
del perimetre de la circumferència, la corda CD (c) que
és la línia que uneix dos punts qualssevol del
perimetre de la circumferència sense passar pel centre,
i la segeta (s) aquella línia que uneix un punt del perímetre
de la circumferència amb el punt mig d'una corda i es
perpendicular a aquesta.
|
|
|
|
2)
Posicions relatives de dues circumferències.-
Podem definir cinc tipus de posicions relatives entre circumferències:
les exteriors (centres O1 i O2),
les quals no tenen cap punt en comú; les tangents
exteriors (centres O3 i O4), les quals tenen un punt
en comú; les tangents interiors
(centres O7 i O8), les quals tenen un punt en comu i
una es interior a l'altra; circumferències
secants (centres O5 i O6), aquelles que es tallen i tenen
dos punts comuns; interiors exentriques
(centres O11 iO12) son aquelles circumferències
que no tenen cap punt en comú i que una d'elles està
continguda en l'altra; i circumferències
concèntriques (centres O9 i O10), com diu la paraula
son las que comparteixen el mateix centre i unes son interiors
a les altres.
|
|
|
3)
Angles notables de la circumferència.-
Els angles notables de la circumferència són:
L' àngle central (a),
com per exemple, el de la figura (1). L'angle
inscrit (b) que teniu a la figura (2). L'angle
exterior (c) com el que teniu a la figura (3).
L'angle semiinscrit (d)
de la figura (4). L'angle interior
(e) de la figura (5). L'angle circumscrit
(f) com el de l'exemple de la figura (6).
VALORS DELS ANGLES
NOTABLES DE LA CIRCUMFERÈNCIA
|
1
|
a
= AB / r . 180º / pi
|
2
|
b
= x / pi
|
|
3
|
c
= w1 - w2 / 2
|
4
|
d
= d1 / 2
|
|
5
|
e
= e1 + e2 / 2
|
6
|
f
= f2 - f1 / 2
|
|
|
|
|
4)
Arc capaç definició gràfica i teòrica.-
L'arc capaç és el lloc
geomètric dels punts del plànol des d'on un punt
pot observar un segment sota un angle determinat.
Si volem observar, per exemple un segment AB com els de la figura
sota un angle determinat z, hem de fer el següent, dibuixem
sota el segment l'angle z donat. Tot seguit tracem la mediatriu
de AB per, a continuació, complementar a la part superior
d'AB l'angle z que havíem traçat amb l'angle 90º-z.
Veurem que aquest darrer costat de l'angle 90º-z ens tallara
la mediatriu de tal manera que aquest punt O de la figura serà
el centre de l'arc de la circumferència, des dels punts
de la qual podrem observar el segment AB sota angles constants
de valor z. Com podeu veure a la part inferior de la figura
la intersecció del costat que no és AB de l'angle
z determina un centre O1 des del qual podem traçar un
arc de circumferència, des dels punts del qual podrem
observar el segment AB sota un angle constant de 90º-z.
|
|
|
|
5)
Determinació gràfica d'un punt des d'on podem
veure dos segments sota dos angles determinats (nº i mº).-
De fet en aquest problema només es tracta de traçar
dues vegades l'arc capaç sobre els segments AB i BC donats.
Al final la intersecció dels dos arcs de circumferència
en tallar-se ens donaran un únic punt P
que complirà les condicions demanades : poder observar
sota angles de nº i mº els segments AB i BC consecutivament.
|
|
|
|
6)
Potencia d'un punt respecte d'una circumferència.-
L'establiment de de relacions entre punts i circumferències
a fet possible la resolució de problemes importants de
geometria. S'anomena potència
d'un punt respecte d'una circumferència en un mateix
plànol, al producte dels segments determinats pel punt
i els d'intersecció d'una secant amb la circumferència.
Aquesta realció de potència entre un punt i una
circumferència té tres cassos generals, en els
cassos de punts exteriors la potència dels punts respecte
de la circumferència és positiva, si els punts
són interiors trobarem relacions de potència negativa
amb la circumferència i, en el cas dels mateixos punts
de la circumferència amb ella mateixa, la potència
és nul·la.
|
|
|
|
|
|
9)
Polaritat. Polar d'un punt respecte d'una circumferència.-
S'anomena polar d'un punt P ( pol)
respecte d'una circumferència, anomenada circumferència
directriu, a l'eix radical de dues circumferències, de
la circumferència directriu i la definida pel diàmetre
OP, tenint en compte que O és el centre de la circumferència
directriu.
|
|
|
|
10)
Descripció
gràfica de la polar coneguts el cercle i el punt
(primer cas: pol exterior).- Donats
el punt P anomenat pol i la circumferència directriu
de centre O, procedim en primer lloc a unir P i O. Des de P,
tot seguit, tracem dues rectes secants en AB i DC sobre la circumferència
directriu. Perllongant BC i AD trobarem A i traçant les
diagonals del quadrilater format per ABCD trobarem E. La recta
que defineixen els punts AE és perpendicular a PO iés,
per altra banda, la polar de P respecte de la circumferència
directriu.
|
|
|
|
11)
Descripció
gràfica de la polar coneguts el cercle i el punt (segon
cas: pol interior).-
Donats el punt P anomenat pol i la circumferència
directriu, en primer lloc procedirem a traçar la línia
que defineixen OP. A continuació traçarem la seva
perpendicular OA. Des d'A trobarem B com a perllongació
d'AP. Unim per mitjà d'una recta O amb B i trobem el
segment OB al qual en el punt B li tracem una perpendicular,
la qual intersecarà en C una paral·lela a OP traçada
des del punt A. Per acabar tracem una perpendicular a OP des
de C. Aquesta perpendicular és l'eix radical o polar
de P respecte la circumferència directriu de centre O.
En un exercici on es donés el cas que el punt P es
trobi sobre la circumferència la línia polar seria
tangent a la circumferència directriu en el punt P.
|
|
|
|
12)
Determinació
del punt P (el pol) donada circumferència directriu i
la recta polar (primer
cas: pol exterior).-
Si ens donen la circumferència directriu de centre O
i la polar i se'ns demana el pol P, hem de començar per
unir el centre O amb els punts secants de la polar amb la circumferència
i tot seguit traçar perpendicular a aquestes que no seran
altra cosa que tangent en els punts A i B. La intersecció
d'aquestes dues rectes ens determinaria el punt P, el qual,
com podeu veure, està situat sobre la mediatriu d'AB
i conté O.
|
|
|
|
13)
Determinació
del punt P (pol) donada la circumferència directriu i
la recta polar (segon
cas: pol interior).-
La primera operació que fem és
traçar una perpendicular des del centre O a la polar
per trobar M, a continuació traçant la mediatriu
d' OM trobem el punt mig des del qual tracem la circumferència
de radi 1/2 d'MO que ens permet trobar els punts A i B. Unint
aquests dos punts, sobre MO trobarem el pol P que cercàvem.
|
|
|
|
14)
Circumferència
de radi donat r que passa per dos punts .-
Nomes tenim que traçar amb radi
r , des de B i des de A els arcs corresponents que ens permetran
trobar el centre O de la circumferència que cercàvem.
|
|
|
|
15)
Circumferència
que passa per tres punts no alineats.-
Si ens donen tres punts no alineats A,
B i C només es trecta de traçar dues mediatrius
dels segements que determinen AB i BC. El punt on es troben
les dues mediatrius és el centre de la circumferència
que passa per a A, per Bi per C.
|
Traça pel teu compte tots els exercicis anteriors.
Perquè en l'exercici 3 tracem un angle de 45 º i
no cap altre. Raona el perquè.
Si en l'exercici número 4 et donessin el costat major
per compte del menor, variaria el procediment de resolució
del problema. Comprova-ho gràficament.
|
