Curs de dibuix i expressió gràfico-visual |
|
|
Tema
|
Fitxa
|
|
|
CONSTRUCCIÓ
DE POLÍGONS DONAT EL COSTAT
|
12
|
|
Definicions
dels polígons i tipus.- Els
polígons són espais limitats per línies
trencades, planes i tancades. Tots
i cada un dels segments de la línia trencada rep en nom
de costat del polígon. Quan els costats d'un
polígon son igual aquest polígon rep el nom de
polígon equilàter.
En el cas que tots els angles interiors del polígon
siguin iguals hem de parlar i definir el polígon com
a polígon equiangle.
És quan costats i angles interiors d'un polígon
són iguals quan parlem de polígons
regulars, pel contrari els que no compleixen aquestes
premises són polígons irregulars. El
nostre objecte d'estudi es centra prioritària-ment en
l'estudi dels polígons regulars.
Propietats dels polígons.- La
suma dels angles externs d'un polígon
és igual a 360º ( a_e = 360º
). La suma dels angles interns
d'un polígon és igual a 180º pel nombre de
costats menys 2 ( a_i = 180º (n-2)
). El nombre de diagonals
d'un polígon és igual al nombre de costats pel
nombre de costats menys 3 i partit per 2, ( n_d
= n (n-3)/2 )
Classificació dels polígons
regulars segons el nombre de costats .- Triangle
equilàter (3 costats iguals), quadrat (4 costats iguals),
pentàgon (5 costats iguals), Hexàgon (6 costats
iguals), heptàgon (7 costats iguals), octògon
(8 costats iguals), enneàgon (9 costats iguals), decàgon
(10 costats iguals), hendecàgon (11costats iguals), dodecàgon
(12 costats iguals), pentadecàgon (15 costats iguals),
tots els demés polígons regulars els anomenem
com a polígon regular de 23 costats, etc.
|
|
|
|
Línies
notables d'un polígon regular de costats parells
Apotema
( a ), radi
( r ), diagonal
( d ), diagonal
principal ( dp
),alçada
( h ) perímetre
( ABCDEF )
L'apotema
d'un polígon és la recta que uneix el centre d'aquest
(centre també de la circumferència circumscrita
i també inscrita) amb el punt mig d'un dels costat i
te el valor del radi de la circumferència inscrita. El
radi d'un polígon regular
és la recta que unix el centre del polígon
(centre també de la circumferència circumscrita
i també inscrita) i un vèrtex del polígon,
aquest radi és també el radi de la circumferència
circumscrita. Les diagonals
d'un polígon són de dos tipus una, la
principal, la qual en els polígons de nombre parell
de costats, és la recta que uneix dos vèrtex oposats,
mentre que les altres diagonals
son aquelles rectes que uneixen dos vèrtex no consecutius.
L'alçada
en el
cas dels polígons de costats parells coincideix amb el
valor de la línia que va de punt mig del costat superior
al punt mig del costat inferior.
El
perímetre d'un polígon
regular, és la suma de tots els costats del polígon.
|
|
|
|
Línies
notables d'un polígon regular de costats senars
Apotema
( a ), radi
( r ), diàgonal
( d ), alçada
( h ) perímetre
( ABCDEFG )
L'apotema
d'un polígon és la recta que uneix el centre d'aquest
(centre també de la circumferència circumscrita
i també inscrita) amb el punt mig d'un dels costat i
te el valor del radi de la circumferència inscrita. El
radi d'un polígon regular
és la recta que unix el centre del polígon
(centre també de la circumferència circumscrita
i també inscrita) i un vèrtex del polígon,
aquest radi és també el radi de la circumferència
circumscrita.Les
diagonals d'un polígon
són de dos tipus una, la principal,
la qual en els polígons de nombre parell de costats,
és la recta que uneix dos vèrtex oposats, mentre
que les altres diagonals son aquelles
rectes que uneixen dos vèrtex no consecutius. L'alçada
d'un polígon regular és la recta perpendicular
des d'un vèrtex al punt mig del costat oposat en el cas
de qualsevol polígon de costat senar.
El perímetre d'un
polígon regular, és la suma de tots els costats
del polígon.
|
|
|
|
1)
Triangle equilàter donat el costat.-
Es tracta de traçar des d'A
i B arcs amb valor AB
i BA. La intersecció
obtinguda serà el tercer vèrtex C del triangle
que cerquem.
|
|
|
|
2)
Quadrat donat el costat.- Comencem per
aixecar una perpendicular en el extrem A
del costat donat AB.
Amb una mesura arbitrària
A1 tracem arcs consecutius des d'A,
des de 1 per trobar 2, des de 2 per trobar
3 i des de 3 per trobar 4. Aixequem la
perpendicular A4 per, a continuació des d'A
amb radi AB,
tracem un arc per trobar el
punt 5 que ja és el punt D del quadrat.
A continuació tracem des de D una paral.lela a AB
que en creuar-se amb la paral.lela a AD
traçada des de B,
ens permetrà trobar el punt C
per completar així el quadrat ABCD
de costat AB
que cercàvem.
|
|
|
|
3)
Pentàgon donat el costat.- Tenim
el costat AB, per començar
tracem des de A i B
arcs força amplis de radi AB
que en permetrà trobar els punts 1 i 2
els quals defineixen la mediatriu d'AB.
Des del punt B
perllonguem AB
i també aixequem una perpendicular a AB des del punt
B,
aquesta perpendicular tallarà l'arc traçat des
de B
amb radi AB
en el punt 3. Des del punt mig d'AB
tracem un arc obrint el compàs fins al punt 3
per trobar el punt 4 sobre la perllongació d'AB.
Tot seguit obrim el compas d'A
fins a 4 i tracem un arc, el qual en intersecar-se amb
l'arc de la mediatriu en donarà el punt 5 que
ja és un punt del pentàgon ( C
) i amb la mediatriu en el punt 6 que també és
un punt del pentàgon ( D
). Ja nomes ens caldrà amb radi AB
des de D traçar un
nou arc que intersecara l'arc esquerra de la mediatriu en el
punt 7 que és el punt E
del pentàgon ABCDE.
|
|
|
|
4)
Hexàgon donat el costat.- Per
començar tracem arcs des d'A i des de B en valor AB
que hem
definit com a arcs 1 i 2, per trobar el centre
de la circumferència O. A continuació amb
centre O i radi OB
tracem la circumferència en la qual quedarà inscrit
l'hexàgon ABCDEF
que cercàvem.
|
|
|
|
4)
Heptàgon donat el costat.- En primer
lloc tracem la mediatriu del costat donat AB
per
així trobar els punts 1 i 2.
A partir
d'A tracem un angle de 30º
que en tallar una perpendicular a AB
en el punt B ens permetrà
trobar el punt 3. Tot seguit tracem un arc de circumferència
des de A
i de radi A3
per torbar el centre O de la circumferència sobre
la qual podrem marcar set ( 7 ) vegades el costat AB
i trobar l'heptàgon ABCDEFG
que cercàvem.
|
|
|
|
5)
Octògon donat el costat.- Com en
tots els cassos de problemes de construcció de polígons
donat el costat, comencem traçant la mediatriu del costat
fent sempre els arcs molt oberts, tot seguit aixequem les perpendiculars
al costat AB des d'A
i des de B per trobar els punts 1 i 2 en
la intersecció amb els arcs de la mediatriu de radi AB.
Tracem la diagonal del quadrat resultant AB21
per trobar el punt 3. Des de 3 amb radi
3B tracem un circumferència que ens tallarà
la mediatriu en el punt O, punt des del qual amb radi
OB
traçarem la circumferència en la qual hi cabrà
vuit vegades el costat AB.
Així amb el radi donat AB
podrem anar traçant consecutivament els costats sobre
la circumferència per obtenir l'octògon ABCDEFGH.
|
|
|
|
6)
Enneàgon donat el costat, primer mètode.- Tracem
la mediatriu del costat AB
per mitjà d'arcs de radi AB
ben oberts des de A
i des de B,
trobem conseqüentment el punt 1. Tracem el triangle equilàter
AB1
i, a continuació, tracem la mediana que ens permet trobar
el punt 2. Des del punt 1 i amb radi 1-2
tracem una circumferència que en intersecar les perllongacions
de A1
i B1
en permet trobar els punts 3 i 4 sobre la circumferència
recent traçada. Unint els punts 3 i 4 trobem
el centre de la circumferència O des del qual amb radi
OB podem traçar la circumferència sobre la qual
podem traçar nou vegades el costat AB
consecutivament per trobar l'enneagon ABCDEFGHI
que cercàvem.
|
|
|
|
7)
Enneàgon donat el costat (segon mètode).- Tracem
la mediatriu d'AB emprant
com a radi el mateix valor del costat donat i fem els arcs ben
amplis. Tracem la mediatriu i des del punt 1 que és
la intersecció de la mediatriu i els arcs per construir-la,
tracem un arc de circumferència amb radi 1B
fins intersecar la mediatriu en el punt 2. Tot seguit
des de 2 tracem un arc amb radi 2-1 fins tornar
a intersecar la mediatriu en el punt que serà el punt
F de l'enneàgon.
Unim F amb A
per mitjà d'una recta, la mediatriu de la qual intersecarà
la mediatriu d'AB
en el centre de la circumferència de radi OB.
Sobre aquesta circumferència podrem traçar
nou vegades el valor del costat AB
que ens permetrà trobar l'enneàgon ABCDEFGHI
que cercàvem.
|
|
|
|
8)
Decàgon donat el costat.- Tracem
la mediatriu del costat AB
i apliquem el mètode construcció d'un pentàgon
donat el costat (figura 3 d'aquesta pàgina). Des del
vèrtex superior del pentàgon podrem traçar
la circumferència en la qual podrem inscriure el dodecàgon
ABCDEFGHIJ de costat
AB
donat.
|
Donat un costat AB de 200 mil.límetres construeix un triangle,
un pentàgon, un hexàgon i un heptàgon.
|
